Групповые систематические линейные блочные коды

Разрешенная кодовая комбинация систематического линейного блочного кода (СЛБК) имеет четкое деление на k информационных символов и r проверочных символов. Общая длина последовательности n=k+r. В канал связи передаются вначале информационные символы, а затем – проверочные. Код, построенный таким образом, обозначается (n; k) или (n; k; d₀). Первое число в скобках показывает общее число символов в кодовой комбинации, второе – число информационных символов, третье – кодовое расстояние кода. Проверочные символы СЛБК формируются путем суммирования по модулю два информационных символов, стоящих на определенных позициях и, кроме того, поразрядная сумма по модулю два двух разрешенных кодовых комбинаций образует также разрешенную кодовую комбинацию. Для задания кода нет необходимости перечислять все разрешенные кодовые слова М_раз=2^k. Достаточно привести всего лишь несколько и далее указать принцип или способ их преобразования. Это свойство СЛБК объясняется тем, что линейные блочные коды образуют математическую структуру, называемую группой. В общем случае, группой G называется множество элементов, на котором задана некоторая групповая операция (обозначим символом «*»). Эта операция однозначно сопоставляет двум элементам множества G третий элемент того же множества.

В случае помехоустойчивых кодов групповые коды – это такие линейные блочные коды, совокупность кодовых слов которых вместе с нулевым кодовым словом, снабженная операцией посимвольного (поразрядного) сложения по модулю два, образует группу G и соответствует основным четырем свойствам группы:

а) замкнутость: для каждой пары «а» и «b» из множества G элемент с=а*b также принадлежит множеству G;

б) ассоциативность: для всех «а», «b» и «с», из множества G выполняется условие а*(b*с)=(а*b)с;

в) существование нейтрального элемента – единицы. В множестве G существует элемент «е», называемый единичным элементом и такой, что а*е=е*а=а для любого элемента множества;

г) существование обратных элементов. Для любого «а» из множества G существует некоторый элемент «b» из множества, называемый обратным элементу «а» и такой, что а* b=b*а=е.

Группа G называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. В противном случае группа называется бесконечной. Некоторые группы обладают дополнительным свойством коммутативности: для любых «а» и «b» из группы а*b=b*а. Такие группы называют абелевыми. Далее будут рассмотрены помехоустойчивые коды, которые соответствуют свойствам абелевых групп.

Дата добавления: 2015-08-13