Глава 5. Линейные пространства.

(В этом разделе может использоваться литература [1 – 4, 6 - 8].)

5.1. Определение. Общие свойства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие требования.

I. Существует правило, ставящее в соответствие любым двум элементам x и y из R третий элемент z из R, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y.

II. Существует правило, ставящее в соответствие любому элементу x из R и любому действительному числу l элемент y из R, называемый произведением x на l и обозначаемый y = lx = xl.

III. Эти два правила подчинены 8 аксиомам: для любых элементов x, y, z из R и любых чисел l, m выполняется

1) x + y = y + x (коммутативность);

2) (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z (ассоциативность);

3) существует нулевой элемент 0 – такой, что x + 0 = x для любого элемента x из R (особая роль 0);

4) для любого x из R существует противоположный элемент x’ – такой, что x + x’ = 0;

5) 1• x = x (особая роль числа 1);

6) l(mx) = (lm)x;

7) (l + m)x = lx + mx;

8)l(x + y) = lx + ly.

Элементы такого множества обычно называют точками, или векторами, правила, определяемые в I – III, - сложением и умножением на число. Аксиомы 3) и 4) дают определение нулевого элемента линейного пространства и противоположного элемента для произвольного элемента x этого пространства. Таким образом, понятия нулевого элемента и противоположного элемента могут быть введены только для тех множеств, в которых определена операция сложения, и по определению

0 - нулевой элемент, если x + 0 = x для любого элемента x из R;

x’ – противоположный элемент к x, если x + x’ = 0.

В определении линейного пространства мы отвлекаемся от природы элементов множества и от вида правил, задающих операции сложения и умножения на число. Если эти правила фиксированы, то рассматривается конкретное линейное пространство, и оно является линейным пространством при именно этих операциях сложения и умножения на число. Приведем примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Пусть R - множество всех вещественных чисел. Рассмотрим стандартные операции умножения и сложения вещественных чисел. Очевидно, требования I – III выполняются, и R – линейное пространство.

Пример 2. Пусть R₊ - множество положительных вещественных чисел.

1) Рассмотрим в R₊ стандартные операции умножения и сложения вещественных чисел. Очевидно, при так определенных операциях сложения и умножения на число в R₊ не существует нулевого элемента (число 0 R₊) и, следовательно, R₊ не является линейным пространством при стандартных принятых в арифметике операциях.

Однако можно определить операции сложения и умножения на число по-другому, и относительно этих операций R₊ будет линейным пространством. Будем новые операции сложения и умножения обозначать как и .

2) Назовем суммой элементов x и y из R₊ элемент z из R₊ такой, что z = x y равен произведению этих элементов, т.е. z = x y = xy. Произведением элемента x на число l назовем элемент z из R₊ такой, что z =l x равен x в степени l, т.е. z = l x = x^l. Тогда легко проверить, что при так введенных операциях нулевым элементомявляется число единица, т.е. 0 = 1, и для любого положительного x противоположный элемент x’ = x^-1. Очевидно, требования I – III при таким образом выбранных операциях выполняются, и R₊ – линейное пространство.

Пример 2 показывает, что заданное множество является (или не является) линейным пространством только относительно рассматриваемых операций.

Пример 3. Множество свободных векторов В₃. Так же, как в аналитической геометрии, назовем суммой c = а + b двух векторов а и b вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника), а произведением а вектора а на вещественное число - вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора а в случае > 0, противоположное направлению вектора а в случае < 0, и равный при = 0. Здесь - длина вектора а, - нулевой вектор. При изучении свободных векторов было доказано (см., например, [1]), что все 8 аксиом, фигурирующих в определении линейного пространства, выполняются. Следовательно, В₃ – линейное пространство.

Пример 4. Обозначим через Rⁿ множество всех упорядоченных последовательностей из n чисел, т.е. Rⁿ = {x = (x₁,x₂,…,x_n): x_i - произвольные вещественные числа, i = 1,…,n}. Введем в этом множестве операции сложения и умножения на число и нулевой элемент следующим образом.

Пусть х = (х₁,..., х_n), у = (у₁,..., у_n), z = (z₁,...,z_n), - вещественное число. Положим

z = х + у z_i = x_i + y_i для любого i;

y = λx y_i = λx_i для любого i;

0 = (0, 0,...,0).

Очевидно, что при так введенных операциях и нулевом элементе противоположным к х элементом будет x’ = - x и все 8 аксиом выполняются. Следовательно, Rⁿ является линейным пространством. При заданных описанным выше способом операциях Rⁿ обычно называют n – мерным координатным пространством, или арифметическим пространством.

Заметим, что вместо n – мерных строк, являющихся элементами Rⁿ, можно рассматривать n – мерные столбцы, т.е. представлять Rⁿ как Rⁿ = {x = (x₁,x₂,…,x_n)^T: x_i - произвольные вещественные числа, i = 1,…,n}, ^T - знак транспонирования.

Рассмотрим общие свойства, которые присущи любому линейному пространству.

Теорема 1. Пусть R - линейное пространство. Тогда 1) существует единственный нулевойэлемент 0; 2) для любого х R существует единственный противоположный элемент х’; 3) 0х = 0 для любого х R; 4) (-1)х = х’- противоположный к х R.

Доказательство. 1) Пусть существуют два нулевых элемента 0₁ и 0₂. По определению нулевого элемента

x + 0₁ = х; х + 0₂ = х для любого х R (1)

Положим х = 0₂. Из первого равенства в (1) следует, что 0₂ = 0₂ + 0₁, и из коммутативности сложения, что 0₂ = 0₁ + 0 ₂. Тогда из второго равенства в (1) при х = 0₁ следует, что 0₁ = 0₂.

2) Пусть для некоторого х R существуют два противоположных элемента x’ и y. По определению противоположного элемента

x + х’ = 0, х + у = 0. (2)

В силу определений нулевого элемента, свойств коммутативности и ассоциативности операции сложения, а также соотношений (2) имеем у = у + 0 = у + (х + х’) = (у + х) + х’ = 0 +х’ = х’. Таким образом, у = х’.

3) В силу определения нулевого элемента и противоположного элемента, свойства ассоциативности операции сложения и утверждения 2) имеем 0х = 0х + 0 = 0х + (х + х’) = (0 +1) х + х’ = х + х’ = 0.

4) (-1)х = (-1)х + 0 = (-1)х + (х + х’) = (-1 +1) х + х’ =0 х + х’ = 0 +х’ = х’.

Теорема доказана.

5.2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость. Пусть R – произвольное линейное пространство. Фиксируем некоторый набор m векторов из R - х¹,…, х^m. Рассмотрим m произвольных чисел α ₁, …, α _m. Так как хⁱ R для любого i, то элемент α_ixⁱ принадлежит R и элемент c = принадлежит R.

Сумма произведений векторов х¹,..., х^m на произвольные числа α₁,..., α_m называется линейной комбинацией этих векторов, т.е. c = - линейная комбинация векторов х¹,..., х^m.

Каждый набор чисел α ₁, …, α _m определяет конкретную линейную комбинацию. В силу теоремы 1 (п. 3) всегда существует такой набор чисел (все эти числа равны 0), что линейная комбинация векторов с этими числами обращается в 0. Это означает, что всегда найдется такой набор чисел α ₁, …, α _m, при котором для заданного набора х¹,…, х^m векторов верно соотношение

= 0. (3)

Элементы х¹,..., х^m линейного пространства R называются линейно зависимыми, если найдутся числа α₁,..., α_m, не все равные нулю, такие что линейная комбинация с ними обращается в 0 (нулевой элемент пространства). В противном случае элементы х¹,..., х^m называются линейно независимыми.

Можно дать и непосредственное определение линейной независимости. Элементы х¹,..., х^m называются линейно независимыми, если справедливость равенства (3) возможна только при всех α_i = 0.

Теорема 2. Векторы х¹,..., х^m линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. 1) Пусть векторы х¹,..., х^m линейно зависимы, т.е. существуют числа α₁,..., α_m, не все равные 0, при которых выполняется (3). Без ограничения общности можно считать, что α_m ≠ 0. Разделив (3) на α_m получим + x^m = 0, или x^m = , т.е. x^m является линейной комбинацией остальных.

2) Пусть х^m - является линейной комбинацией остальных элементов, т.е. x^m = . Тогда x^m - = 0, т.е. получена линейная комбинация, обращающаяся в 0 (нулевой элемент пространства), у которой не все коэффициенты нулевые. Следовательно, элементы х¹,..., х^m линейно зависимы. Теорема доказана.

Непосредственно из доказательства теоремы вытекает справедливость следующего утверждения.

Следствие 2.1. Если в линейной комбинации векторов х¹,..., х^m, обращающейся в 0, коэффициент α_к ≠ 0, то х^к является линейной комбинацией остальных.

Следствие 2.2. Если элементы х¹,..., х^m линейно независимы, а векторы х¹,..., х^m, х линейно зависимы, то х является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Поскольку векторы х¹,..., х^m, х – линейно зависимы, то найдутся числа α₁,..., α_m, , не все равные нулю, такие, что + х = 0. Тогда, если = 0, то = 0 и не все коэффициенты в этой линейной комбинации равны нулю. Этого не может быть, т.к. элементы х¹,..., х^m линейно независимы. Следовательно, 0, и в силу следствия 2.1 вектор х является линейной комбинацией остальных.

Следствие 2.3. Если среди векторов х¹,..., х^m есть нулевой элемент 0, то эти векторы линейно зависимы.

Справедливость этого утверждения следует из того факта, что в силу теоремы 1 нулевой элемент является линейной комбинацией любого конечного набора элементов с коэффициентами, равными нулю.

Следствие 2.4. Если к векторов (к m) линейно зависимы, то и все m векторов линейно зависимы.

Доказательство. Пусть векторы х¹,..., х^k линейно зависимы. Тогда существуют числа , не все равные нулю, такие, что = 0. Положим = . Очевидно, что не все равны 0, а = 0, т.е. векторы х¹,..., х^m линейно зависимы. Утверждение доказано.

В качестве иллюстрации использования введенных понятий и теорем рассмотрим линейное пространство Rⁿ - множество всех упорядоченных последовательностей из n чисел с введенными в примере 4 операциями сложения и умножения на число и нулевым элементом 0 = (0, 0,...,0). Считаем здесь, что элементами Rⁿ являются строки длины n. В Rⁿ выберем n векторов ,i = 1, …, n, таких, что

) , , (4)

где - символ Кронекера. Определенные в (4) векторы называют единичными ортами. Таким образом, i – й единичный орт – это n – мерная строка (или столбец, если элементами Rⁿ являются столбцы), у которой в i – ой позиции стоит 1, а в остальных нули.

Теорема 3. В Rⁿ 1) векторы линейно независимы; 2) любой вектор х из Rⁿ является линейной комбинацией векторов .

Доказательство. 1) Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов , обращающуюся в нуль. Покажем, что если

= 0, (5)

то все α_i = 0. Действительно, из определения единичных ортов, операций сложения и умножения на число и нулевого элемента следует, что при выполнении (5) имеем = (, ,…, ) = 0 = (0, 0, …, 0). Следовательно, α_i = 0 для любого i.

2) Рассмотрим произвольный вектор х из Rⁿ, т.е. х = (x₁, x₂, …. x_n). Из (4) следует, что х = x₁ + x₂ + … + x_n = , т.е. утверждение верно. Теорема доказана.

Понятие линейной зависимости и теорема 3 дают возможность получить важные свойства матриц. Пусть А - квадратная матрица порядка n. Представим ее в блочном виде как А = (А¹,А², …, Аⁿ), где Аⁱ - ее i – й столбец. Очевидно, Аⁱ Rⁿ (элементами Rⁿ в этом случае являются n – мерные столбцы).

Теорема 4. Квадратная матрица А является невырожденной тогда и только тогда, когда ее столбцы (строки) линейно независимы.

Напомним, что квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию столбцов матрицы A, обращающуюся в 0, т.е.

Аⁱ = 0. (6)

Обозначим через вектор-столбец, принадлежащий Rⁿ, с компонентами из (6). Тогда запись (6) эквивалентна записи

A = 0 (7)

и задает систему из n линейных уравнений с n неизвестными .

Из (6) следует, что столбцы матрицы A линейно независимы тогда и только тогда, когда система (6), или что то же самое (7), имеет единственное решение. Из анализа систем линейных уравнений (см. главы 2 и 3 в [1]) следует, что система (7) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда существует обратная матрица (А^-1) к матрице А. Обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда detA ≠ 0, т.е. когда матрица A – невырожденная. Таким образом, столбцы матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Поскольку detA = detA^T, а столбцы матрицы A^T являются строками матрицы A, то утверждение верно и для строк. Теорема доказана.

Из теоремы 4 следует, что для того, чтобы проверить на линейную зависимость n строк (столбцов) длины n, достаточно решить определитель квадратной матрицы, составленной из этих строк (столбцов).

Пусть А - матрица порядка m n. Для нее введено (см. глава 3 в [1]) понятие ранга матрицы r(A) как максимального порядка невырожденной квадратной подматрицы. Примем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 5. Ранг матрицы r(A) равен числу линейно независимых строк и равен числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Часто условие, сформулированное в теореме 5, принимают за определение ранга матрицы.

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n переменными

Ах = b, (8)

где А - матрица системы порядка m n, х – вектор-столбец переменных, х Rⁿ, b – вектор-столбец свободных членов, b R^m. Здесь элементами Rⁿ и R^m являются векторы-столбцы соответствующей длины. Если представить матрицу системы A в блочном виде как A = (A¹,..., Aⁿ), A^j R^m, то запись (8) эквивалентна (см. глава 3 в [1]) следующей

. (9)

Напомним, что матрица = (А¹,..., Аⁿ, b) порядка m (n+1) называется расширенной матрицей системы (8).

Теорема 6. (Кронекера – Капелли) Система (8) совместна тогда и только тогда, когда ранги матрицы системы и расширенной матрицы совпадают, т.е. когда r(A) = r().

Доказательство. Заметим, что в силу теоремы 5 и из построения расширенной матрицы следует, что r(A) r() r(A) + 1.

1) Пусть r(A) = r() = r. Это значит в силу теоремы 5, что максимальное количество линейно независимых столбцов как в матрице A, так и в матрице , равно r. Пусть столбцы A¹,..., A^r матрицы A линейно независимы. Так как r() = r, то столбцы A¹,..., A^r, b матрицы линейно зависимы. Тогда по следствию 2.2 вектор b является линейной комбинацией векторов A¹,..., A^r, т.е. b = Аⁱ. Отсюда следует, что вектор (, , …, ) ^T, такой что = при i r и = 0 в остальных случаях, является решением системы (9) и, следовательно, системы (8).

2) Пусть система (8) совместна, т.е. существует вектор (, , …, ) ^T такой, что при подстановке его в (8) и, что то же самое, в (9) все уравнения обращаются в тождества, т.е.

. (10)

Пусть столбцы A¹,..., A^r матрицы A определяют её ранг, т.е. линейно независимы, и большее, чем r, число столбцов матрицы A линейно зависимы. Тогда в силу следствия 2.2 любой столбец при j > r является линейной комбинацией столбцов A¹,..., A^r, т.е. = Аⁱ. Подставим это выражение в (10) и, меняя порядок суммирования, получим + = Аⁱ ) = b. Последнее равенство получается при учете того, что при суммировании обозначение индекса не играет роли, т.е. того, что = . Таким образом, вектор b является линейной комбинацией столбцов A¹,..., A^r, и его добавление к этим столбцам не увеличивает числа линейно независимых столбцов в матрице , т.е. в силу теоремы 5 r(A) = r(). Теорема доказана.

5.3. Базис и размерность линейного пространства. Пусть R – произвольное линейное пространство. Совокупность линейно независимых векторов а¹,а²,...,аⁿ из R называется базисом этого пространства, если любой вектор b R может быть представлен как линейная комбинация этих векторов, т.е.

b = b₁a¹ +b₂a²+... +b_naⁿ = . (11)

Обычно, если набор векторов а¹,а²,...,аⁿ – базис, то он обозначается как а = . Равенство (11) называется разложением вектора b по базису а, числа b₁,...,b_n – координатами вектора b в заданном базисе а.

Замечание 5.1. В силу теоремы 3 в Rⁿ набор единичных ортов = { }, определенных в (4), образует базис в Rⁿ, координатами вектора х = (x₁, x₂, …. x_n) из Rⁿ в этом базисе являются сами компоненты x_i этого вектора. Базис будем называть единичным, или стандартным базисом.

Теорема 7. Пусть а = - базис в R. Тогда

1) разложение по данному базису единственно;

2) при сложении 2-х векторов их координаты в заданном базисе складываются;

3) при умножении вектора на число его координаты в заданном базисе умножаются на это число.

Доказательство. 1) Предположим, что утверждение неверно, т.е. для некоторого b R существуют два разложения по заданному базису. Это значит, что кроме (11), выполняется и равенство

b = ₁a¹ + ₂a²+... + _naⁿ = . (12)

Вычтем из (11) равенство (12). Получим

= 0. (13)

Равенство (13) представляет собой линейную комбинацию линейно независимых векторов а¹, а²,..., аⁿ, обращающуюся в нуль. Отсюда все коэффициенты при базисных векторах должны равняться нулю. Следовательно, при всех i. Утверждение доказано.

2) Пусть х R, у R, и, следовательно, z =x + y R. Так как а = - базис в R, то любой вектор может быть разложен по этому базису, и

x = , (14)

y = , (15)

z = . (16)

Сложив (14) и (15), получим

z = x + y = . (17)

Выражения (16) и (17) являются разложением вектора z по базису a. По утверждению 1) настоящей теоремы такое разложение единственно. Следовательно, z_i =x_i + y_i для любого i. Утверждение доказано.

3) Пусть х R, z = x ( R), и векторы x и z разложены по базису в соответствии с (14) и (16). Так как z = x = , то в силу единственности разложения по базису z_{i =} x_i. Теорема доказана.

Пусть в линейном пространстве R задан базис а = . Рассмотрим m векторов x¹,..., х^m из R. Каждый вектор xⁱ может быть разложен по базису а. Пусть для любого i

хⁱ= (18)

и = (x_i1, …, x_in)^T Rⁿ - вектор координат элемента хⁱ в базисе а.

Замечание 5.2. В силу единственности разложения любого элемента пространства по заданному базису координатами базисного вектора aⁱ в базисе a является в Rⁿ i – й единичный орт , определенный в (4).

Теорема 8. Векторы х¹,..., х^m линейно независимы в R тогда и только тогда, когда векторы координат линейно независимы в Rⁿ.

Доказательство. В Rⁿ рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов , обращающуюся в нулевой элемент = (0, 0, …, 0)^T пространства Rⁿ: = , или

= (0, 0, …, 0)^T. (19)

Из (19) следует, что

= 0 для любого j = 1,..., n.(20)

Умножим (20) на вектор а^j, получим, что для любого j верно равенство

= 0, (21)

где 0 - нулевой элемент пространства R.

Сложим равенства (21) для всех j, получим (меняя в конце последовательности действий порядок суммирования) 0 = = . Отсюда в силу (18) xⁱ = 0, т.е. соответствующая линейная комбинация векторов х¹,..., х^m обращается в нулевой элемент пространства R с теми же коэффициентами, что и обращающаяся в комбинация векторов координат в Rⁿ. Если векторы координат линейно зависимы, то, очевидно, зависимы и исходные векторы. Точно так же, проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать справедливость обратного утверждения - если векторы в R линейно зависимы, то линейно зависимы и векторы их координат. Теорема доказана.

Из теорем 7 и 8 вытекает, что если в линейном пространстве R задан базис а = , состоящий из n элементов, то каждому элементу из этого пространства ставится в соответствие один и только один упорядоченный набор из n чисел, т.е. элемент линейного пространства Rⁿ. При этом сумма любых векторов (произведение на число) характеризуется единственным вектором из Rⁿ, координаты которого получены сложением координат слагаемых (умножением на это число). Более того, линейная зависимость векторов в R может быть проверена с помощью соответствующих векторов координат в Rⁿ.

Таким образом, если задан базис из n элементов в линейном пространстве R, то для любого вектора мы можем найти координаты и каждому вектору будет соответствовать вектор из Rⁿ.

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов и любые n+1 элементов линейно зависимы. Размерность пространства обозначается как dimR. Если размерность равна n, то это записывается как dimR = n. Если в пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое линейное пространство называется бесконечномерным, т.е. dimR = ∞. Будем изучать только конечномерные пространства – такие, что dimR < ∞.

Теорема 9. Пусть R – линейное пространство. Тогда 1) если dimR = n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис; 2) если в R есть базис из n векторов, то dimR = n.

Доказательство. 1) Пусть dimR = n. По определению размерности линейного пространства в R найдутся n линейно независимых элементов, и любые (n + 1) элементов линейно зависимы. Пусть элементы а¹,..., аⁿ линейно независимы. Тогда для любого х из R элементы а¹,..., aⁿ, х – линейно зависимы. В силу следствия 2.2 х - линейная комбинация остальных, т.е. х = при некоторых числах _j. Следовательно, - { а¹,..., аⁿ } - базис.

2) Пусть а = {а¹,...., аⁿ} - базис. Нужно показать, что любые (n + 1) элементов линейно зависимы.

Рассмотрим произвольный набор векторов b¹,...,bⁿ⁺¹. Любой вектор из R может быть разложен по базису а. В частности, bⁱ = , i = 1, …, n. Обозначим через = ( x_i1,..., x_in)^T вектор, составленный из координат элемента хⁱ в базисе а, а через Х - матрицу порядка (n + 1) n, составленную из этих строк. По теореме 8 если векторы b¹,...,bⁿ⁺¹ в R линейно независимы, то , …, – линейно независимы в Rⁿ. Тогда ранг r(X) матрицы X равен в силу теоремы 5 (n + 1). По определению ранга матрицы r(X) не может превосходить n, т.к. ранг матрицы равен числу линейно независимых строк и равен числу линейно независимых столбцов. Таким образом, любые (n + 1) элементов линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствие 9.1. Если dimR = n, то любой базис состоит из n элементов.

Следствие 9.2. Если dimR = n, то любые m векторов, где m n, будут линейно зависимы.

Следствие 9.3. dimRⁿ = n.

Пример 5. Проверим, является ли в R³ набор векторов a= (1,2,3), b = (1,0,0), c =(0,1,0) базисом. Если да, то разложим вектор x = (1,1,1) по этому базису.

В силу следствия 9.3 dimR³ = 3 и, следовательно, базис состоит из трех векторов. По теореме 4 векторы a= (1,2,3), b = (1,0,0), c = (0,1,0) линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица A, составленная из этих векторов как строк, невырожденная. Так как det A = 3, то {a, b, c} – базис. Разложим вектор x = (1,1,1) по этому базису: x = αa + βb + γc, или (1,1,1) = α(1,2,3) + β (1,0,0) + γ (0,1,0), что эквивалентно равенствам 1 = α + β, 1 = 2 α + γ, 1 = 3 α. Отсюда α = 1/3, β = 2/3. γ = 1/3 и x = (1/3)a + (2/3)b + (1/3)c.

Из теорем 7 – 9 следует, что все линейные пространства одной и той же размерности обладают общими свойствами. Размерность пространства является одной из важнейших его характеристик. Если dimR = n, то

1) всегда существует базис из n элементов;

2) любой базис состоит из n элементов;

3) любые m элементов при m n всегда линейно зависимы;

4) dimRⁿ = n;

5) если задан базис из n элементов, то вместо произвольного пространства R можно рассматривать Rⁿ.

5.4. Преобразование координат при переходе к новому базису. Пусть R – линейное пространство, dimR = n,и f = {f¹, …, fⁿ}, g = {g¹, …, gⁿ} - два базиса в R.

Рассмотрим произвольный элемент х R. Как и всякий элемент пространства R он может быть разложен как по базису f, так и по базису g:

x = , x = . (22)

Обозначим векторы координат в базисах f и g через и соответственно. Покажем, что существует так называемая матрица перехода, связывающая векторы х^f и х^g.

Разложим произвольный элемент базиса по базису f:

gⁱ = . (23)

Положим Uⁱ =(u_i1, …, u_in)^T (здесь ^T – знак транспонирования).Столбец Uⁱ содержит все коэффициенты разложения элемента по базису f. Обозначим матрицу из столбцов Uⁱ через U, т.е. U = (U¹,..., Uⁿ) и назовем её матрицей перехода от f к g.

Теорема 10. Если U – матрица перехода от базиса f к базису g, то существует U^-1, и х^g = U^-1x^f.

Доказательство. В силу теоремы 8 векторы U¹,..., Uⁿ линейно независимы, а в силу теоремы 4 матрица U невырожденная и, следовательно, существует обратная матрица U^-1 (см. глава 3 в [1]).

Рассмотрим произвольный вектор х R. Разложим его по базису g. В соответствии со вторым равенством в (22) и затем (23) имеем x = = . Поменяв порядок суммирования, получим

x = . (24)

Соотношения (22) (первое равенство) и (24) представляют собой разложение вектора х по базису f. Так как разложение по базису единственно, то коэффициенты перед в (22) и (24) совпадают, т.е. = для любого j, или

Uх^g =x^f. (25)

Поскольку матрица U невырожденная, то х^g = U^-1x^f. Теорема доказана.

Следствие 10.1. Переход от базиса g к базису f происходит с помощью обратной матрицы U^-1.

Замечание 5.3. Если при заданном базисе f вместо векторов x из пространства R рассматриваются вектора их координат x^f из Rⁿ, то при переходе к новому базису g будут рассматриваться координаты х^g. Эти векторы координат в разных базисах связаны соотношением (25). Таким образом, при решении конкретных задач делается замена переменных с помощью невырожденной матрицы U. Поэтому переход от базиса к базису эквивалентен невырожденной замене переменных – координат в рассматриваемых базисах.

Замечание 5.4. Нетрудно показать, что любая невырожденная замена переменных вида (25) определяет переход от заданного базиса f к некоторому базису g, вычисляемому по формулам (23).

Пример 6. Рассмотрим в пространстве Rⁿ стандартный (единичный) базис = { }, где , i = 1, …, n, - единичные орты, определенные в (4). Найдем в пространстве Rⁿ матрицу перехода U от стандартного базиса к произвольному базису a = {a¹, …, aⁿ}. Здесь и aⁱ - n - мерные столбцы.

Для любого вектора х Rⁿ вектор его координат вбазисе есть х^е Rⁿ, и х^е , очевидно, совпадает с х (см. Замечание 5.1). Пусть в базисе a его вектор координат есть x^a Rⁿ. Матрица A = (a¹, …, aⁿ), составленная из базисных векторов, невырожденная.

В соответствии с (23) каждый i – ый столбец Uⁱ матрицы перехода U составляют координаты разложения aⁱ по стандартному базису . Очевидно, Uⁱ = aⁱ, т.е. U = A.

Следствие 10.2. В Rⁿ при переходе от стандартного базиса = { }, где , i = 1, …, n, - единичные орты, определенные в (4), к базису а = {а¹,...., аⁿ} матрицей перехода является матрица A, столбцами которой являются базисные векторы из a, т.е. A = (а¹,...., аⁿ).

Пример 7. Найдем в R² матрицу перехода U от базиса f к базису g; где f = {f¹, f²} = { , }, g = {g¹, g²} = .

Заметим, что f и g базисы, т.к. легко проверить, что матрицы (f¹, f²) и (g¹, g²) – невырожденные.

В соответствии с (23) каждый i – ый столбец Uⁱ матрицы перехода U составляют координаты разложения gⁱ по базису f, т.е. g¹ = = u₁₁ + u₂₁ , g² = = u₁₂ + u₂₂ . Отсюда u₁₁ =1; u₂₁ = 0, u₁₂ = 1, u₂₂ = -1 и U = .

5.5. Важные подмножества линейного пространства. Рассмотрим некоторые важные подмножества линейного пространства R. Если не оговорено особо, то будем считать, что dim R = n. Пусть L R, т.е. L подмножество линейного пространства R.

Подмножество L R называется линейным подпространством, если для любых x L, y L и вещественного числа выполняются следующие требования:

1. x + y L;
2. x L.

Теорема 11. Пусть L линейное подпространство линейного пространства R. Тогда

1) L является линейным пространством;

2) Dim L dim R = n и, если dim R = n, то L совпадает с R.

Доказательство. 1) Так как L R, тов L действуют операции сложения и умножения на число, определенные в R. По условию 2 0x L, а по теореме 1 0x = 0, где 0 - нулевой элемент пространства R, 0 – число. Отсюда 0 L. По условию 2 (-1)x L, а по теореме 1 (-1)x = x’, где x’ - противоположный к x элемент. Отсюда требования I – III, задающие линейное пространство, для L выполняются. Следовательно, L является линейным пространством.

2) Пусть m = dimL. По определению размерности линейного пространства m равно максимально возможному числу линейно независимых элементов в L. Поскольку L R, то m n. Если m совпадает с n, то в L найдется базис из n элементов, и он является базисом и в R. Отсюда любой элемент R является элементом L. Следовательно, L с овпадает с исходным пространством. Теорема доказана.

Пример 8. 1) L₀ = {x Rⁿ: (x₁, 0, x₂,..., x_n)^T } – линейное пространство, т.к. условия, определяющие линейное подпространство, выполняются. Поскольку все единичные орты (см. (4)), кроме второго, принадлежат L₀, то dim L₀ = (n – 1).

2) L₁ = {x Rⁿ: x = (x₁, 1, x₂,..., x_n)} – не является линейным пространством, т.к. сумма любых двух векторов из L₁ ему не принадлежит.

3) L₂ = {x Rⁿ: Ax = 0}, A – матрица порядка m×n. Очевидно, L₂ является линейным пространством, т.к. условия, определяющие линейное подпространство, выполняются (см. свойства решений однородных систем линейных уравнений в [1]).

Пусть R линейное пространство; a¹, a²,..., a^m - произвольные элементы из R. Линейной оболочкой L(a¹,..., a^m) векторов а¹,...,а^m называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. L(a¹,..., a^m) = {х R: х = , где α_j – любые числа, j = 1, …, m}.

L(a¹,..., a^m) – линейное пространство, т.к. линейная оболочка, очевидно, является линейным подпространством. dimL(a¹,..., a^m) равна числу линейно независимых элементов в наборе (а¹,..., а^m).

Пусть R - линейное пространство, dimR = n, L R, L – линейное подпространство. Линейным многообразием P линейного пространства R называется совокупность Р R, полученная прибавлением фиксированного элемента х⁰ R ко всем элементам заданного линейного подпространства L. P = { x R: x = x⁰ + y, y L}. По определению dimP = dimL.

Если P – линейное многообразие и dimP = n - 1, то P называется гиперплоскостью. Если P – линейное многообразие и dimP = 1, то P называется прямой в n - мерном пространстве.

Прямая в n - мерном пространстве может быть задана в виде Р = {y R, y = a + λb, λ – число, - λ }, где а и b – фиксированные, известные элементы из R.

Пусть R - линейное пространство, L R. Возьмем произвольные 2 элемента a¹, a² из R и числа 0 λ 1. Элемент у = λа¹ + (1 - λ)а² из R называется выпуклой комбинацией элементов а¹ и а². Множество {y: y = λa¹ + (1 - λ)a², 0 λ 1} называется отрезком, соединяющим а¹ и а². Множество L R называется выпуклым тогда и только тогда, когда для любых х¹, х² из L элемент λx¹ + (1 - λ)x² тоже принадлежит L.

Пример 9. Рассмотрим множество X решений однородной системы из m линейных уравнений с n переменными, задаваемой матрицей A порядка m×n, т.е. X = {x = (x₁, …, x_n)^T: Ax = 0}. Это множество всегда не пусто, и если а¹ и а² из X и 0 λ 1, то, очевидно, λa¹ + (1 - λ)a² принадлежит X (см. глава 2 в [1]), т.е. X - выпуклое множество.

Вопросы и задания.

1. Дать определение линейного пространства. Сформулировать основные теоремы.

2. Дать определение множества R ⁿ. Проверить, что R ⁿ - линейное пространство.

Дата добавления: 2015-08-18