Общее уравнение прямой.

Уравнение (2) и (5) представляет собой уравнения первой степени с двумя переменами. Такое уравнение в общем виде можно записать в виде:

(6)

1. Пусть В≠0. Тогда y= . Если k = , В = , то y=kх+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если А≠0, С=0, то y = kх – уравнение прямой, проходящей через начало координат. Если А=0, С≠0, то y=b – уравнение прямой, параллельной оси О_y. Если А =0, С=0, то y=0 – уравнение оси О_х^.

2. Пусть В=0, А≠0, то х= или х=а, где а= - уравнение прямой, параллельной оси О_y.

Уравнение (6) называется общим уравнением прямой.

Прямая на плоскости

Для нахождения точки пересечения двух прямых нужно решить систему.

Если прямые не параллельны, то получим единственную точку.

=а₂-а₁ и y=k₁х+b₁

y=k₂х+b₂

k₁=tq а₁, k₂=tq а₂

tq = tq (а₂-а₁) =

tq = (7)

Если прямые параллельны, то =0. Из (7) получим k₁=k₂ – необходим и достаточным условием параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то = и tq не определен, а ctq и 1+k₁k₂=0 или k₁k₂=-1.

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку. Для обозначения вида l₁ || l₂: и условие перпендикулярности А₁А₂+В₁В₂=0.

Кривым второго порядка описывается уравнение второй степени с двумя переменами, имеющий общий вид:

Ах²+Вхy+Сy²+Дх+Еy+F=0 (8)

Пусть данная окружность с центром О^` (х_о,y_о) и радиусом R. Тогда ОМ=R.

(х-х₀)²+(y-y₀)²=R² (9)

Уравнение (9) называется нормальным уравнением окружности. Если центр совпадает с началом координат.

х² + y² = R² (10)

Преобразование уравнение (8) можно представить к виду:

Ах² + Сy² = b (11)

Кривая второго порядка (11) называется эллипсом, если коэффициента А и С имеют одинаковые знаки.

(12) где

Уравнение (12) –каноническое уравнение эллипса. Кривая (11) называется гиперболой, или А и С имеют противоположные знаки (А>0, С<0) и b>0.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(13)

Где а= -действительная полуось, b= -мнимая полуось.

F₁(c,0) и F₂(-c,0)-фокусы

Прямые y= -асимптотами гиперболы.

Уравнение (8) В=0, А=0, С≠0, т.е.

Сy²+Dх+Еy+F=0 (14)

Такое преобразование приводит ее к виду:

y²=2pх (15)

точка F()-фокус фокусом параболы, а прямая х=- -директрисой параболы.

Уравнение плоскости.

Пусть плоскость проходит точку М₀(х₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору . М(х,y,z)-текущая точка плоскости. . Тогда , или

А(х-х₀) + В(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (16)

Уравнение (16) запишем в виде:

Ах+Вy+Сz+D=0 (17)

где D=-Ах₀-Вy₀-Cz₀.

Если D=0: Ах+Вy+Сz=0- плоскость, проходящую через начало координат.

А=0: Вy+Сz+D=0-плоскость, параллельной оси Ох.

А=D=0:Вy+Сz=0-плоскость, проходящею через ось Ох.

А=В=0:Сх+D=0-плоскость, параллельной плоскости Охy.

А=В=D=0:Сz=0-координатная плоскость Охy.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей векторов и : -условия параллельности плоскостей.

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0 – условия перпендикулярности плоскостей.

Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей:

Уравнение -каноническое уравнение прямой в пространстве. Определяется из условия коллинеарности векторов и (m,n,p)-направляющий вектор прямой.

Под углом между двумя плоскостями понимается угол между их нормалями () и :

(18)

Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами этих прямых:

(19)

Угол между прямой и плоскостью определяется через - направляющий вектор прямой и - вектор нормали плоскости по формуле:

(20).

Дата добавления: 2015-08-18