Расширенные коды Хэмминга

Коды Хэмминга с кодовым расстоянием d₀=3 можно превратить в расширенные коды Хэмминга с расстоянием d₀=4, добавив дополнительный проверочный символ, равный сумме по модулю два всех остальных () символов. Этот дополнительный проверочный символ переводит все кодовые слова веса W=3 в слова веса W=4, слова веса W=5 – в слова веса W=6 и т.д. В общем случае параметры расширенного кода Хэмминга имеют вид (2^r; 2^r-1-r). Если, например, применить эту процедуру к (7;4) - коду Хэмминга с проверочной матрицей (15), то получится следующая дополненная проверочная матрица:

Н_4,8= (17)

Дополненная матрица (17) не имеет канонической формы, поскольку правая часть этой матрицы не является единичной подматрицей, что не позволяет определить каждый проверочный символ только по информационным символам. Этот недостаток можно исправить, преобразовав последнюю строку матрицы (17) путем поразрядного прибавления к ней по модулю два каждой из первых трех строк матрицы. В результате получим проверочную матрицу расширенного кода Хэмминга (8;4;4):

Н¹_4,8 = (18)

Последняя строка полученной матрицы задает проверку на четность.

Пример 9 Закодировать расширенным кодом Хэмминга (8;4) ту же информационную последовательность А_k =0101, что и в примерах 6 и 7.

Для нахождения проверочных символов составим систему проверочных уравнений, используя матрицу (18):

В итоге получаем кодовую последовательность А=01010101, отличающуюся от результатов примеров 9 и 10 наличием дополнительного (четвертого) проверочного символа. Фактическое его значение численно равно сумме по модулю два всех символов кодовой комбинации, полученной в примерах 7 и 8

Рассмотренные на примере кодов Хэмминга систематические линейные коды имеют существенные недостатки, важнейшим из которых является трудоемкость их построения при длине кодовой последовательности 31 двоичных символов и для коррекции ошибок кратностью t_исп≥3 двоичных символов. Это связано с параллельным декодированием всего слова, когда за один такт необходимо исправить ошибки во всей принятой комбинации. Поиск более простых принципов построения СЛБК привел к открытию нового широкого класса групповых линейных блочных кодов, получивших название циклических кодов.

Дата добавления: 2015-08-13