Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (4.19)

где и – действительные числа. Частное решение уравнения (4.19) можно найти методом, рассмотренным в п.4.4.

Если правая часть НЛДУ (4.19) имеет “специальный вид”, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов. Суть метода состоит в следующем. Частное решение записывают в виде, похожем на функцию , но с неопределенными коэффициентами; затем подставляют в уравнение и определяют значения коэффициентов.

Рассмотрим два случая.

Случай I. Правая часть уравнения (4.19) имеет вид: ,

где – многочлен, . В этом случае частное решение уравнения можно искать в виде

, (4.20)

где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности как корня характеристического

уравнения . Чтобы найти коэффициенты многочлена , надо подставить выражение в уравнение (4.19).

Пример 4.7. Решить уравнение .

Решение. Общее решение НЛДУ имеет вид: . Найдем общее решение

однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, .

Найдем частное решение НЛДУ. Правая часть уравнения имеет вид . Так как не является корнем характеристического уравнения, а – многочлен нулевой степени, то по формуле (4.20) частное решение ищем в виде . Тогда , . Подставляя в исходное уравнение, получаем:

, или , откуда .

Следовательно, частным решением является функция , а общим решением – функция .

Пример 4.8. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: . Находим решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение ОЛДУ будет .

Найдем частное решение НЛДУ. Правая часть уравнения . Число есть простой корень характеристического уравнения (). Следовательно, по формуле (4.20) частное решение будем искать в виде . Тогда , . Подставляя в исходное уравнение, будем иметь:

, или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим: , , откуда . Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид: . Общим решением является функция

.

Подставляя найденное решение в начальные условия , , получим системууравнений: . Откуда .

Следовательно, искомое решение, удовлетворяющее начальным условиям, есть .

Случай II. Пусть правая часть ДУ (4.19) имеет вид: ,

где – заданные числа, . В этом случае частное решение неоднородного ДУ можно найти в виде

(4.21)

где и – неопределённые коэффициенты, – число, равное кратности , как корня характеристического уравнения .

Замечания:

1. Формула (4.21) частного решения не меняется, если в правой части

уравнения (4.19) выражение содержит только или только , т.е. или

или .

2. Если правая часть ДУ (4.19) есть сумма функций вида I и II, то для нахождения частного решения следует применить теорему 4.6.

Пример 4.9. Решить уравнение .

Решение. Общее решение НЛДУ имеет вид: . Найдем общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно,

.

Найдём частное решение . Функция в правой части уравнения имеет вид: Так как не совпадает с корнем характеристического уравнения, то по формуле (4.22) частное решение будем искать в виде . Тогда

.

Подставляя , , в исходное уравнение, получим:

или .

Отсюда имеем: Следовательно, и частное решение есть функция . Таким образом, искомое общее решение НЛДУ есть

.

Пример 4.10. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения является функция . Правая часть НЛДУ имеет вид: . Здесь . Это число совпадает с одним корнем характеристического уравнения. Поэтому по формуле (4.21) частное решение будем искать в виде (в формуле (4.21) взять ).

Найдём . Подставив , , в исходное уравнение, получим:

,

или .

Отсюда , или , .

Следовательно, частным решением уравнения является функция , а общим решением .

Пример 4.11. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами для дифференциальных уравнений:

а) , б) , в) .

Решение. а). Характеристическое уравнение имеет корни

. Правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций

и . Согласно теореме 4.6, частным решением исходного уравнения будет функция , где и есть частные решения неоднородных уравнений и , соответственно.

Функция имеет вид: , поэтому решение , согласно формуле (4.20), ищем в виде . Так как есть простой корень характеристического уравнения, то и .

Функция имеет тот же вид: . Так как не является корнем характеристического уравнения, то в формуле (4.20) надо взять . Тогда или и частное решение исходного уравнения будет иметь вид: .

б). Корни характеристического уравнения есть .

Рассмотрим два уравнения (см. теорему 4.6): и . Функция , поэтому решение ищем в виде (формула (4.20)). Так как − двукратный корень характеристического уравнения, то . Значит .

Функция или , следовательно, решение второго уравнения согласно формуле (4.21) будем искать в виде . Так как , , то не является корнем характеристического уравнения. Поэтому и . Частным решением исходного уравнения будет функция .

в). Характеристическое уравнение имеет корни .

Правая часть данного ДУ содержит и , которые зависят от разных аргументов. Рассмотрим уравнения и . Функция в правой части первого уравнения имеет вид: . Согласно формуле (4.21) частное решение ищем в виде . Так как не является корнем характеристического уравнения, то и .

Функция или . Учитывая, что не является корнем характеристического уравнения, в формуле (4.21) полагаем и решение запишем в виде . Таким образом, общий вид частного решения исходного уравнения есть

.

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Написать частные решения с неопределенными коэффициентами:

5. 6. , 7. .

Ответы: 1. , 2. ,

3. , 4. , 5. , 6. , 7. .

Дата добавления: 2015-07-17