Линейные уравнения. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

(2.9)

где и – заданные непрерывные функции.

Рассмотрим один из методов решения линейного уравнения – метод подстановки. Решение уравнения (2.9) ищется в виде произведения двух функций

Дифференцируя обе части этого равенства, получим .

Подставляя выражения для и в уравнение (2.9), получаем:

или . (2.10)

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. находим какое-либо решение дифференциального уравнения , которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Подставляя найденное решение в уравнение (2.10), получаем ещё одно уравнение с разделяющимися переменными .

Находим его общее решение . Возвращаясь к переменной , получим

. Это есть общее решениеисходного линейного уравнения (2.9).

Пример 2.6. Найти общее решение уравнения .

Решение. Полагаем . Тогда , т.е.

. (2.11)

Функцию найдём из уравнения или , т.е. . Проинтегрировав, получим , . Подставляя в уравнение (2.11), получаем уравнение для определения :

или или .

Интегрируя, найдём . Следовательно, общее решение данного уравнения есть или .

Пример 2.7. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Для определения типа уравнениявыразим из него :

, .

Получили линейное уравнение. Сделаем подстановку . Тогда уравнение примет вид: или

. (2.12)

Функцию находим из уравнения или . Проинтегрировав, получим или . Подставим в уравнение (2.12): или . Решая это уравнение, находим :

, , .

Общее решение исходного уравнения есть или . Подставляя , в общее решение, получим: , , . Таким образом, частное решение уравнения будет .

Дифференциальное уравнение вида

(2.13)

называется уравнением Бернулли. При уравнение (2.13) является

линейным, при − уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и линейное уравнение.

Пример 2.8. Найти общее решение уравнения Бернулли .

Решение. Полагаем . Тогда , т.е.

. (2.14)

Находим функцию из уравнения :

, , , .

Подставляя в уравнение (2.14), получим уравнение для определения : . Проинтегрировав, найдём: , .

Отсюда общее решениеуравнения Бернуллиесть .

Дата добавления: 2015-07-17