Вопрос 1. Уравнение колебаний в контуре.

Лекция 2. Свободные электрические колебания.

Под электрическими колебаниями понимают периодические изменения заряда, силы тока и напряжения. Простейшая система, в которой возможны свободные электрические колебания, - это так называемый колебательный контур. Это устройство, состоящее из соединенных между собой конденсатора и катушки. Будем полагать, что активное сопротивление катушки отсутствует, в этом случае контур называют идеальным. При сообщении этой системе энергии в ней будут происходить незатухающие гармонические колебания заряда на конденсаторе, напряжения и тока.

Сообщить колебательному контуру энергию можно разными способами. Например, зарядив конденсатор от источника постоянного тока или возбудив ток в катушке индуктивности. В первом случае энергией обладает электрическое поле между обкладками конденсатора. Во втором, энергия заключена в магнитном поле тока, текущего по цепи.

Вопрос 1. Уравнение колебаний в контуре.

Докажем, что при сообщении контуру энергии в нем будут происходить незатухающие гармонические колебания. Для этого необходимо получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида .

Допустим, конденсатор зарядили и замкнули на катушку. Конденсатор начнет разряжаться, по катушке потечет ток. Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС в этом контуре ℰ.

В нашем случае падение напряжения поскольку контур идеальный. Конденсатор в цепи ведет себя как источник тока, в качестве ЭДС выступает разность потенциалов между обкладками конденсатора , где - заряд на конденсаторе, - электроемкость конденсатора. Кроме того, при протекании через катушку изменяющегося тока в ней возникает ЭДС самоиндукции , где - индуктивность катушки, - скорость изменения тока в катушке. Поскольку ЭДС самоиндукции препятствует процессу разрядки конденсатора второй закон Кирхгофа принимает вид

Но ток в контуре – это ток разрядки или зарядки конденсатора, следовательно . Тогда .

Дифференциальное уравнение преобразуется к виду

Введя обозначение , получим известное нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

Это означает, что заряд на конденсаторе в колебательном контуре будет изменяться по гармоническому закону

где - максимальное значение заряда на конденсаторе,

- циклическая частота,

- начальная фаза колебаний.

Период колебаний заряда . Это выражение носит название формулы Томпсона.

Напряжение на конденсаторе

Ток в цепи

Видим, что кроме заряда на конденсаторе по гармоническому закону будут изменять еще ток в контуре и напряжение на конденсаторе. Напряжение колеблется в одной фазе с зарядом, а сила тока опережает заряд по фазе на .

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия магнитного поля тока

Таким образом, энергии электрического и магнитного полей тоже изменяются по гармоническому закону, но с удвоенной частотой.

Дата добавления: 2015-07-17