Колебательный контур с двумя параллельно соединенным катушками.

Катушки индуктивности L₁ и L₂ подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкостью С. В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов . Сначала замыкают ключ К1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.

Решение

1. При разомкнутом ключе К2 в контуре, состоящем из конденсатора и первой катушки, происходят колебания. К моменту замыкания К2 энергия конденсатора перешла в энергию магнитного поля тока в первой катушке :

2. После замыкания К2 в колебательном контуре оказываются две катушки, соединенные параллельно.

Ток в первой катушке не может прекратиться вследствие явления самоиндукции. В узле он делится: одна часть тока идет во вторую катушку, а другая заряжает конденсатор .

3. Напряжение на конденсаторе станет максимальным, когда прекратится ток I, заряжающий конденсатор. Очевидно, что в этот момент токи в катушках сравняются .

4. На основании закона сохранения энергии

С учетом того, что и , получаем

5. Для нахождения тока запишем для ветвей, содержащих катушки, закон Ома для неоднородного участка цепи:

Складываем уравнения с учетом того, что омическим сопротивлением катушек можно пренебречь:

Интегрируем с учетом то, что ток в первой катушке меняется от до , ток во второй катушке изменяется от нуля до :

6. Подставляя значение тока в закон сохранения энергии, находим максимальное напряжение на конденсаторе:

После подстановки значения получаем:

7. Можно было решить задачу, используя механическую аналогию. Колебательный контур состоит из двух катушек и конденсатора, следовательно, эквивалентная механическая система должна состоять из одной пружины и двух грузов.

Колебательный контур	Механическая аналогия
Катушки соединены параллельно, следовательно, на них одинаковое напряжение	На грузы действуют одинаковые по модулю силы – оба груза прикреплены к пружине
Сразу после замыкания К2 в первой катушке существовал ток	В начальный момент первый груз имел скорость
Сразу после замыкания К2 ток во второй катушке отсутствовал	В начальный момент второй груз покоился
Каково максимальное значения напряжения на конденсаторе?	Чему равна максимальная сила упругости, возникающая в пружине в процессе колебаний?

Маятник двигается поступательно со скоростью центра масс и совершает колебания относительно центра масс.

Сила упругости максимальна в момент максимальной деформации пружины. Очевидно, в этот момент относительная скорость грузов становится равной нулю, а относительно стола грузы двигаются со скоростью центра масс. Записываем закон сохранения энергии:

Решая систему, находим

Производим замену

и получаем для максимального напряжения найденное ранее значение

Дата добавления: 2015-07-17