Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Неоднородные линейные уравнения

Читайте также:
  1. Аварийное короткое замыкание и опыт короткого замыкания однофазного трансформатора. Основные уравнения и векторная диаграмма.
  2. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.
  3. Аналитическое и графическое определение предельной адсорбции по уравнениям Гиббса и Ленгмюра.
  4. Безразмерные переменные (числа подобия) и уравнения подобия.
  5. В-5. Положительные направления электромагнитных величин, уравнения напряжения и векторные диаграммы источников и приемников электрической энергии
  6. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли.
  7. Далее составляем электронные уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение (НЛДУ) второго порядка

 

, (4.12)

где непрерывные на интервале функции. Уравнение

, (4.13)

левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (4.12), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 4.5 (о структуре общего решения НЛДУ).

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения .

Доказательство. Пусть − любое частное решение уравнения (4.12), − общее решение однородного уравнения (4.13). Докажем, что функция будет общим решением НЛДУ (4.12). Заметим, что , где − фундаментальная система решений уравнения (4.13). Подставим в уравнение (4.12), а в уравнение(4.13). Получим

и .

Складывая эти равенства, получим , т.е. есть решение НЛДУ. Это решение зависит от двух произвольных постоянных, т.к. .

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия

, , (4.14)

можно подобрать единственным образом произвольные постоянные и , входящие в функцию так, чтобы частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Подставив функцию в начальные условия (4.14), получим систему уравнений относительно неизвестных и :

или

Определитель этой системы отличен от нуля (см. теорему 4.3). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение .

Решение является частным решением уравнения (4.12), удовлетворяющим заданным начальным условиям. Теорема доказана.

 


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 111 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Дифференциальные уравнения и ряды | Дифференциальные уравнения первого порядка | Уравнения с разделяющимися переменными | Однородные дифференциальные уравнения | Линейные уравнения. Уравнение Бернулли | Примеры для самостоятельного решения | Уравнения, допускающие понижение порядка | Однородные линейные уравнения | Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами | Глава 2. Ряды |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами| Метод вариации произвольных постоянных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)