Неоднородные линейные уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение (НЛДУ) второго порядка

, (4.12)

где – непрерывные на интервале функции. Уравнение

, (4.13)

левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (4.12), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 4.5 (о структуре общего решения НЛДУ).

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения .

Доказательство. Пусть − любое частное решение уравнения (4.12), − общее решение однородного уравнения (4.13). Докажем, что функция будет общим решением НЛДУ (4.12). Заметим, что , где − фундаментальная система решений уравнения (4.13). Подставим в уравнение (4.12), а в уравнение(4.13). Получим

и .

Складывая эти равенства, получим , т.е. есть решение НЛДУ. Это решение зависит от двух произвольных постоянных, т.к. .

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия

, , (4.14)

можно подобрать единственным образом произвольные постоянные и , входящие в функцию так, чтобы частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Подставив функцию в начальные условия (4.14), получим систему уравнений относительно неизвестных и :

или

Определитель этой системы отличен от нуля (см. теорему 4.3). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение .

Решение является частным решением уравнения (4.12), удовлетворяющим заданным начальным условиям. Теорема доказана.

---

Дата добавления: 2015-07-17