Дифференциальные уравнения и ряды

Н.М. Кравченко

Учебно-методическое пособие

Научный редактор доц., канд. физ.-мат. наук Р.М. Минькова

Печатается по решению редакционно-издательского

совета ГОУ ВПО УГТУ-УПИ

Екатеринбург

УДК 512 (075)

ББК 22.37

Рецензенты:

кафедра высшей математики Уральского государственного экономическогоуниверситета, зав. кафедрой проф., канд. физ.-мат. наук Н.И. Чвялева;

проф., д-р физ.-мат. наук В. Б. Репницкий (Уральский государственный университет им. А. М. Горького, кафедра алгебры и дискретной математики)

Автор: Н.М. Кравченко

Дифференциальные уравнения и ряды: учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» / Н.М. Кравченко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 50 с.

ISBN 5-321-00547-8

Учебно-методическое пособие содержит основные понятия теории, подробное решение типовых задач, примеры для самостоятельного решения.

Библиогр.: 7 назв. Рис.10.

Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и

уравнения математической физики».

УДК 512 (075)

ББК 22.37

ISBN 5-321-00547-8

© ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет – УПИ», 2006

Глава 1. Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Решение различных задач математики, физики, химии и других наук приводит часто к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными. Решением дифференциального уравнения (ДУ) называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наибольший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Например, дифференциальное уравнение имеет третий порядок, а уравнение – первый порядок.

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием, график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дифференциальному уравнению: найти кривую, проходящую через точку (3;1), у которой отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть – уравнение искомой кривой; M(x, y) – произвольная точка этой кривой (рис.1). Так как по условию задачи , то . Из : . Так как

, то .

Рис.1

Но − это угловой коэффициент касательной к кривой в точке М(x,y), т.е. . Таким образом, получаем . Это уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Его решением является функция . Решение будет приведено в п.2.3. (пример 2.3).

Дата добавления: 2015-07-17