Примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений:

9. . 10. .

11. . 12. .

Ответы: 1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде

(3.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной

. (3.2)

Например, уравнение есть простейшее уравнение второго порядка. Проинтегрировав, получим . Ещё раз проинтегрируем: − общее решение. Для отыскания констант нужны два условия. Их задают в виде , и называют начальными условиями.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , где – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

а) функция есть решение дифференциального уравнения при любых значениях постоянных ;

б) каковы бы ни были допустимые начальные условия

, , (3.3)

можно найти такие единственные значения постоянных и , что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (3.1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3), называется задачей Коши.

Теорема 3.1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении функция и её частные производные и непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то в этой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Доказательство не приводим.

Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференциальных уравнений –го порядка.

Далее рассмотрим отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков.

---

Дата добавления: 2015-07-17