Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное линейное уравнение (ОЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

, (4.7)

где и - постоянные действительные числа.

Чтобы найти общее решение уравнения (4.7), достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 4.4).

Будем искать частное решение в виде , где ; тогда , . Подставляя выражения для у, , в уравнение (4.7), получаем: , , или

. (4.8)

Следовательно, если будет удовлетворять уравнению (4.8), то функция будет решением уравнения (4.7). Уравнение (4.8) называется характеристическим уравнением ДУ (4.7). Для его составления надо в уравнении (4.7) заменить , , соответственно на .

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, и − его корни. Возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: . В этом случае частными решениями уравнения (4.7) будут функции и . Они образуют фундаментальную систему, т.к.

.

Следовательно, общее решение однородного уравнения (4.7) согласно формуле (4.6) имеет вид:

(4.9)

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение: , его корни . Следовательно, общее решение данного уравнения, согласно

формуле (4.9), имеет вид: , где − произвольные постоянные.

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: . В этом случае имеем только одно частное решение .

Покажем, что функция также является решением уравнения (4.7).

Подставим в левую часть уравнения (4.7). Будем иметь:

Так как – корень уравнения (4.8), то . По теореме Виета , . Отсюда , т.е. есть решение уравнения (4.7).

Частные решения уравнения образуют фундаментальную систему решений, т.к. . Поэтому общее решение ОЛДУ (4.7) имеет вид:

. (4.10)

Пример 4.2. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два корня . Общее решение исходного уравнения согласно формуле (4.10) запишется в виде: .

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые: , . В этом случае частными решениями уравнения (4.7) будут комплексные функции .

Используя формулы Эйлера , ,

преобразуем полученные решения:

Для отыскания действительных решений однородного уравнения составим две линейные комбинации решений и :

, .

Согласно теореме 4.1 функции и являются решениями ОЛДУ (4.7). Эти решения образуют фундаментальную систему, т.к. . Поэтому общее решение уравнения (4.7) в случае комплексных корней характеристического уравнения запишется в виде

(4.11)

Пример 4.3. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни . По формуле (4.11) записываем общее решение исходного уравнения

.

Пример 4.4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Корни характеристического уравнения есть , . Общее решение уравнения имеет вид или (формула (4.9)). Тогда . Подставляя , , в выражения для и , получаем: . Отсюда , . Таким образом, искомое частное решение уравнения есть функция .

Замечание. Метод построения фундаментальной системы решений, рассмотренный нами для ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, распространяется и на уравнения того же типа, но более высокого порядка.

Покажем это на примере.

Пример 4.5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , , . Фундаментальная система решений: , , , . Следовательно, функция − общее решение исходного уравнения.

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения: 1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. .

Найти частное решение уравнений:

7. , 8.

Ответы: 1. , 2. , 3. ,

4. 5. ,

6. , 7. , 8. .

Дата добавления: 2015-07-17