Глава 2. Ряды

Числовые ряды

Основные понятия

Выражение вида (5.1)

называется числовым рядом, где −действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, − общий член ряда.

Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда и обозначается , т.е. .

Если последовательность частичных сумм ряда имеет конечный предел при , то ряд называется сходящимся, число называют суммой ряда. Если не существует или , то говорят, что ряд (1.1) расходится. Такой ряд суммы не имеет.

Пример 5.1. Рассмотрим ряд

. (5.2)

Члены ряда (5.2) есть члены геометрической прогрессии, сумма первых членов которой находится по формуле = , .

1). Если , то при , , ряд (5.2) сходится и его сумма равна .

2). Если , то при . Поэтому , ряд (5.2) расходится.

3). Если , то ряд (5.2) принимает вид . В этом случае , , т.е. ряд расходится.

4). Если , то ряд (5.2) принимает вид . В этом случае при четном и при нечетном . Поэтому не существует, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при .

Например, ряд есть ряд, составленный из членов геометрической прогрессии при . Следовательно, ряд сходится и его сумма

.

Пример 5.2. Рассмотрим ряд . Общий член ряда . Для удобства вычисления частичной суммы перепишем его в виде . Тогда:

.

Следовательно, , т.е. ряд сходится и его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (5.1) сходится и его сумма равна , то ряд

(c − произвольное число) (5.3)

также сходится и его сумма равна .

Доказательство. Обозначим -ю частичную сумму ряда (5.1) через , а ряда (5.3) через . Тогда

,

.

Следовательно, ряд (5.3) сходится и его сумма равна .

Свойство 2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то сходятся ряды и их суммы соответственно равны .

Свойство 3. Если к ряду (5.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (5.1) сходятся или расходятся одновременно.

Свойства 2, 3 доказываются аналогично свойству 1.

Ряд называется -м остатком ряда (5.1). Он получается из ряда (5.1) путем отбрасывания первых его членов.

Ряд (5.1) и его остаток, согласно свойству 3, одновременно сходятся или расходятся.

Из этого же свойства следует, что если ряд (5.1) сходится, то при его остаток стремится к нулю. Действительно, в случае сходимости ряда (5.1) имеем: , где , или . Тогда .

Примеры для самостоятельного решения

Найти сумму ряда: 1. , 2. .

Ответы: 1. , 2. .

Дата добавления: 2015-07-17