Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим общий метод нахождения частных решений НЛДУ (4.12). Его общее решение определяется формулой (см. п. 4.3). Частное решение уравнения (4.12) можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Пусть − общее решение однородного уравнения (4.13), где − линейно независимые частные решения ОЛДУ. Решение НЛДУ будем искать в аналогичном виде, заменив константы на функции , т.е. в виде

, (4.15)

где – неизвестные пока функции. Найдем производную

.

Подберём функции так, чтобы ониудовлетворяли условию

. (4.16)

Тогда

Подставляя выражения для , , в уравнение (4.12), получим:

или

В последнем равенстве выражения в скобках тождественно равны нулю, т.к. и – решения однородного уравнения (4.13), поэтому равенство примет вид

(4.17)

Таким образом, функция будет решением НЛДУ (4.12), если функции удовлетворяют системе уравнений (4.16) и (4.17):

(4.18)

Так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений , то он не равен нулю; следовательно, система имеет единственное решение: . Интегрируя эти уравнения, находим , а затем решение уравнения (4.12).

Пример 4.6. Найти решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем . Фундаментальная система решений . Общее решение ОЛДУ .

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде (4.15): . Для нахождения составим систему уравнений вида (4.18):

Умножив первое уравнение системы на , второе ─ на и сложив, получим

, или .

Подставляя найденное выражение в первое уравнение системы, находим . Тогда ,

и общее решение исходного уравнения примет вид

или

, где и - произвольные постоянные.

Обратите внимание, что в скобке − общее решение ОЛДУ, а второе слагаемое – частное решение НЛДУ.

Теорема 4.6 (о суперпозиции решений). Если правая часть уравнения есть сумма двух функций: , а и – частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.

Доказательство. Подставим функцию в уравнение (4.12):

Теорема доказана.

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения: 1. ; 2. .

Ответы: 1. , 2. .

Дата добавления: 2015-07-17