Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод вариации произвольных постоянных

Читайте также:
  1. G. Методические подходы к сбору материала
  2. I. Методический блок
  3. I. Методы исследования в акушерстве. Организация системы акушерской и перинатальной помощи.
  4. I. Общие методические требования и положения
  5. I. Организационно-методический раздел
  6. I.9.1.Хемилюминесцентный метод анализа активных форм кислорода
  7. I.Организационно-методический раздел

 

Рассмотрим общий метод нахождения частных решений НЛДУ (4.12). Его общее решение определяется формулой (см. п. 4.3). Частное решение уравнения (4.12) можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Пусть − общее решение однородного уравнения (4.13), где − линейно независимые частные решения ОЛДУ. Решение НЛДУ будем искать в аналогичном виде, заменив константы на функции , т.е. в виде

, (4.15)

где – неизвестные пока функции. Найдем производную

.

Подберём функции так, чтобы ониудовлетворяли условию

. (4.16)

Тогда

Подставляя выражения для , , в уравнение (4.12), получим:

или

В последнем равенстве выражения в скобках тождественно равны нулю, т.к. и – решения однородного уравнения (4.13), поэтому равенство примет вид

(4.17)

Таким образом, функция будет решением НЛДУ (4.12), если функции удовлетворяют системе уравнений (4.16) и (4.17):

(4.18)

Так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений , то он не равен нулю; следовательно, система имеет единственное решение: . Интегрируя эти уравнения, находим , а затем решение уравнения (4.12).

Пример 4.6. Найти решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем . Фундаментальная система решений . Общее решение ОЛДУ .

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде (4.15): . Для нахождения составим систему уравнений вида (4.18):

Умножив первое уравнение системы на , второе ─ на и сложив, получим

, или .

Подставляя найденное выражение в первое уравнение системы, находим . Тогда ,

и общее решение исходного уравнения примет вид

или

, где и - произвольные постоянные.

Обратите внимание, что в скобке − общее решение ОЛДУ, а второе слагаемое – частное решение НЛДУ.

 

Теорема 4.6 (о суперпозиции решений). Если правая часть уравнения есть сумма двух функций: , а и – частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.

Доказательство. Подставим функцию в уравнение (4.12):

Теорема доказана.

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения: 1. ; 2. .

Ответы: 1. , 2. .

 


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 155 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Дифференциальные уравнения и ряды | Дифференциальные уравнения первого порядка | Уравнения с разделяющимися переменными | Однородные дифференциальные уравнения | Линейные уравнения. Уравнение Бернулли | Примеры для самостоятельного решения | Уравнения, допускающие понижение порядка | Однородные линейные уравнения | Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами | Глава 2. Ряды |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Неоднородные линейные уравнения| Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)