Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

, (2.1)

где − независимая переменная; − искомая функция; − её производная. Иногда уравнение (2.1) можно разрешить относительно :

, (2.2)

Уравнение (2.2) можно записать в дифференциальной форме, заменив на :

, (2.3)

Например, уравнение можно записать в виде или .

Дифференциальное уравнение в общем случае имеет бесконечное множество решений. Решением уравнения является функция , а также функции , и вообще , где с − const.

Чтобы получить одно решение дифференциального уравнения, необходимо подчинить его некоторым дополнительным условиям.

Условие, что функция должна быть равна определенному значению , при , называется начальным условием. Начальное условие записывают в виде:

или . (2.4)

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

а) функция есть решение дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной ;

б) каково бы ни было допустимое начальное условие (2.4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения есть семейство интегральных кривых на плоскости ; частное решение – одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку .

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка (2.2), удовлетворяющего начальному условию (2.4), называется задачей Коши.

Теорема 2.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то в этой области существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Доказательство не приводим.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку , если выполняется условие теоремы.

В процессе решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида , которое неявно определяет искомую функцию . Такое равенство называют общим интегралом дифференциального уравнения, а равенство называется частным интегралом уравнения.

---

Дата добавления: 2015-07-17