Б) (т.е. общий член ряда стремится к нулю при ), то такой ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Доказательство. Необходимо доказать, что .

Запишем частичные суммы:

, , ,

четная частичная сумма

,

нечетная частичная сумма

.

Исследуем . Так как каждая скобка неотрицательна, то последовательность четных частичных сумм не убывает. С другой стороны,

.

Таким образом, последовательность неубывающая и ограниченная сверху, а значит, она сходится. Обозначим .

Исследуем .

.

Следовательно, сумма исходного ряда равна , т.е. ряд сходится, что и требовалось доказать. ¨

Ряд, удовлетворяющий условиям доказанной теоремы, называют рядом Лейбница.

Отметим, что признак Лейбница можно использовать и в тех случаях, когда члены ряда удовлетворяют его условиям, начиная с некоторого номера n₀, поскольку отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Пример14. Исследовать сходимость ряда по признаку Лейбница.

Решение

Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

а) ;

б) .

Пример 15. Исследовать сходимость ряда

Решение

Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

а) ;

б) .

Заметим, что данный ряд отличается от гармонического только знаками четных членов.

Дата добавления: 2015-07-18