Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания:

1) Если , теорема 6 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2) Если , то ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Поскольку вычисление предела вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

Так как

,

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши)

Пусть дан ряд

(7)

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных, непрерывна, не возрастает и

, , …, , … (8)

Дата добавления: 2015-07-18