Сходящиеся и расходящиеся ряды

Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы

– 1-ая частичная сумма;

– 2-ая частичная сумма;

– 3-ая частичная сумма;

¼ – ……………………….

– ая частичная сумма;

... – ……………………….

образуют последовательность частичных сумм , ,..., ,...

Определение

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть. При этом число называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при, то этот ряд называется расходящимся.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)

, .

Решение

Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если , то геометрический ряд сходится и его сумма . Если же , то геометрический ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Так как , то ая частичная сумма данного ряда

Эта сумма при имеет предел

.

Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Дата добавления: 2015-07-18