Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Равномерно сходящиеся последовательности функций

Читайте также:
  1. II. Описание трудовых функций, входящих в профессиональный стандарт (функциональная карта вида профессиональной деятельности)
  2. А) Для финансирования задач и функций государства и местного самоуправления;
  3. Абсолютно сходящиеся ряды
  4. Адреса в виде символьной последовательности
  5. Аргументы финансовых функций Excel анализа инвестиций
  6. Аргументы финансовых функций Excel анализа ценных бумаг
  7. Блок-схема последовательности действий при приеме документов

Пусть Х0 есть множество сходимости для , а f0 - ее предельная функ- ция. Выберем некоторое . Тогда числовая последовательность сходится к числу , т.е.

N N ().

Заметим, что при фиксированном ε число kε зависит, вообще говоря, от выбора х. В тех случаях, когда такой зависимости нет, говорят о равномер- ом стремлении функциональной последовательности к ее предельной функ- ции. Приведем строгое определение, описывающее подобные случаи.

Пусть Е – некоторое множество, содержащееся в Х0 (случай Е=Х0 не исключен).

Определение. Будем говорить, что последовательность сходится к функции f0 равномерно на множестве Е и будем при этом записывать , если

N k N x R ((k > kε) .

В этом определении число kε не зависит от выбора х в множестве Е: если k > kε, то неравенство | fk (x) – f0 (x) | < ε справедливо сразу для всех х, при -надлежащих Е.

Пример 3. Пусть , а Е = [0; α ], где 0 <α <1. Покажем, что равномерно сходится на Е к f0, где f0 (х) ≡ 0 на Е.. Действительно, при всяком . Зададим некоторое ε > 0. Так как , найдется натуральное kε такое, что при всех k > kε выполняется Тогда при тех же k и всяком < ε, т. е. последовавательность удовлетворяет на множестве Е = [0;α ] сфор- мулированному выше определению.

Итак, рассматриваемая последовательность равномерно сходится на сег- менте [0; α ], где α – любое положительное число, меньшее единицы. Вмес- те с тем, на сегменте [0; 1] эта последовательность равномерно сходящейся не является. В самом деле, пусть k – некоторое натуральное число; рассмотрим разность fk (x) – f0 (x). При имеем: fk (x) – f0 (x) = . Очевидно, . По теореме о стабилизации знака неравенства ([3], п.4.5) существует δk > 0 такое, что для всех справедливо | fk (x) – f0 (x) | = . Таким образом, при любом натуральном k на [0; 1] имеются точки х такие, что| fk (x) – f0 (x) | . Отсюда следует, что для ε = ½. нельзя указать kε, обладающее тем свойством, что при k > kε неравенство справедливо для всех точек сегмента [0; 1].

Теорема 1. (О непрерывности предельной функции) Пусть последова- тельность сходится к предельной функции f0 равномерно на проме- жутке . Если функции этой последовательности непрерывны на , то и предельная функция f0 непрерывна на этом промежутке.

► Пусть . Докажем: , т.е.

Пусть k- некоторое натуральное число, а х принадлежит . Имеем:

| f0 (x) – f0 (x0) | = | f0 (x) – f k (x) + f k (x) - f k (x0) + f k (x0) – f0 (x0) | ≤

≤ | f0 (x) – f k (x) | + | f k (x) - f k (x0) | + | f k (x0) – f0 (x0) | = I + II + III.

Зададим некоторое ε > 0. Так как , то найдется натуральное kε такое, что при всех k > kε справедливо:

I = | f0 (x) – f k(x) | и III = | f k (x0) – f0 (x0) | .

Выберем какое-нибудь k, k > kε. При таком k имеем:

| f0 (x) – f0 (x0) | = I + II + III + | f k (x) - f k (x0) |.

Так как функция f k непрерывна в точке x0, существует δ > 0 такое, что

.

Отсюда: если |x-x0| < δ, то | f0 (x) – f0 (x0) | + | f k(x) - f k(x0) | < ε.

Здесь ε – любое положительное число, значит, , где x0 - любая точка промежутка (если х0 совпадает с одним из концов промежутка, речь идет об односторонних пределах). Тем самым доказана непрерывность f0 в точке х0. Но х0 - любая точка промежутка. Значит, f0 непрерывна.на . ◄

Замечание. Если последовательность непрерывных функций не является равномерно сходящейся, ее предельная функция может оказаться разрывной. Так, последовательность непрерывных функций, рассмотренная в примере 3 не является равномерно сходящейся на множестве [-1; 1], и ее предельная функция терпит разрыв в точке х = 1.

Теорема 2. (О предельном переходе под знаком интеграла) Пусть после- довательность сходится к функции f0 равномерно на сегменте [ a; b ]. Если функции этой последовательности непрерывны на [ a; b ], то

.

► Обозначим: Ik = , I = . Нужно доказать: Ik → I, т.е.

N N (k > kε | Ik – I | < ε)

Зададим ε > 0. Так как , найдется kε такое, что при всех k > kε и всех х справедливо . Пусть k > kε ; тогда

| Ik – I | = | | .

Здесь ε – любое положительное число; значит, Ik → I. ◄

Замечание. Доказанной теореме можно дать следующую формулировку: если - равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функ- ций,то знак предела можно внести под знак интеграла:

.

 

 

Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 162 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Общие свойства числовых рядов | Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. | Признаки сходимости произвольных рядов | Абсолютно сходящиеся ряды | Степенные ряды. | Равномерно сходящиеся функциональные ряды | Вещественные степенные ряды | Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Последовательности функций| Функциональные ряды
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)