Вещественные степенные ряды

Степенной ряд будем называть вещественным степенным ря- дом, если все его коэффициенты с_k и центр круга сходимости а являются вещественными числами. Ряды, рассмотренные в примерах 17,18, и 19,§ 1, - это вещественные степенные ряды.

Опишем поведение вещественного степенного ряда . в точках вещественной оси Пусть R – радиус сходимости этого ряда. Интервал (а –R; а+ R) является диаметром круга сходимости; поэтому в каждой точке этого интервала ряд абсолютно сходится; Точки вещественной оси, лежащие вне сегмента [ а –R; а+ R], находятся вне окружности | z- a | = R, ограничивающей круг сходимости; поэтому ряд в таких точках расходится. Что касается точек а ± R, то есть ряды, сходящиеся в каждой из них, есть ряды расходящиеся в обеих этих точках, наконец, есть и такие, которые в одной из них сходятся, а в другой расходятся (пример 19, § 1).

Пусть заданы последовательность вещественных чисел и веществен- ное число а. Рассмотрим функциональный ряд (х), где при любом ве -щественном х и любом натуральном k f _k(x) = c_k-1(x- a) . Обозначим через Х₀, Х₀ R, множество сходимости этогоряда, а через S(x) – его сумму. Оче- видно, ряд (х) - это вещественный степенной ряд:

(1)

Из сказанного выше явствует, что множество сходимости Х₀ ряда (1) пред- ставляет собой или интервал (а –R; а+ R), где R – радиус сходимости, или сег- мент [ а –R; а+ R], или один из полуоткрытых промежутков, ограниченных точками а ± R. Интервал (а –R; а+ R) называют интервалом сходимости ряда (1). В его точках сходимость ряда всегда абсолютная. Выясним вопрос о рав- номерной сходимости ряда (1).

Теорема 1. (О равномерной сходимости степенногоь ряда внутри интер- вала сходимости) Пусть радиус сходимости R ряда (1) больше нуля (слу- чай R=+∞ не исключен). Ряд (1) равномерно сходится на всяком сегменте, со- держащемся в интервале сходимости (а –R; а+ R).

► Для доказательства теоремы достаточно установить равномерную схо- димость ряда на всяком сегменте вида [ а –r; а+ r], где 0<r<R, ибо для любого сегмента [α; β], содержащегося в интервале (а –R; а+ R) всегда можно подоб- рать r, 0<r<R, такое, что [α; β] [ а –r; а+ r], и если ряд равномерно сходится на [ а –r; а+ r], то он равномерно сходится и на [α; β].

Итак, пусть задано некоторое r, 0<r<R.. Обозначим: через х₀ любую из то- чек а± r. Так как х₀ (а –R; а+ R), ряд (1) абсолютно сходится в этой точке, т.е. сходится ряд ; кроме того, для всякого х [ а –r; а+ r] имеем: при всех k = 0,1, … Отсюда и из признака Вейерштрасса (теорема 3, § 2) вытекает равномерная сходимости (1) на сегменте [ а –r; а+ r]. ◄

Замечание 1. Хотя ряд равномерно сходится на всяком сегменте, содержащемся в (а –R; а+ R), он не всегда является равномерно сходящимся на всем этом интервале.

Замечание 2. Если ряд сходится в точке а+ R, он равномерно сходится на всяком сегменте [ а –r; а+ R], где0<r<R.. Если ряд сходится в точке а –R, он равномерно сходится на всяком сегменте [ а –R; а+ r],где 0<r<R. Доказатель- ства этих утверждений можно найти в [1], том 1.

Последующие теоремы посвящены свойствам суммы вещественного степенного ряда.

Теорема 2. (О непрерывности суммы степенного ряда) Сумма S степен- ного ряда (1) непрерывна на интервале сходимости этого ряда.

► Пусть х₀ – некоторая точка интервала сходимости (а –R; а+ R). Подберем r, 0<r<R, такое, чтобы было выполнено х₀ [ а –r; а+ r] По теореме 1 ряд равномерно сходится на [ а –r; а+ r]. Так как члены ряда непрерывны на [ а –r; а+ r], в силу теоремы 5, § 2, его сумма S также непрерывна на [ а –r; а+ r]. Значит, S непрерывна в точке х₀. Так как х₀ - любая точка интервала (а –R; а+ R), доказана непрерывность S на этом интервале. ◄

Замечание. Из замечания 2 к теореме 1 и теоремы 4, § 2 вытекает: если ряд (1) сходится в точке а+ R, то S непрерывна на промежутке (а –R; а+ R]; если ряд (1) сходится в точке а- R, то S непрерывна на промежутке [ а –R; а+ R).

Пусть х – некоторое вещественное число. Заметим: при любом k = 0,1,. … . Мы будем говорить, что ряд

(2)

получен почленным интегрированием ряда (1). Ряд (2) представляет собой также вещественный степенной ряд. Его радиус сходимости обозначим через R_i, его сумму – через S_i.

Теорема 3. (О почленном интегрировании степенного ряда) 1) Радиус сходимости ряда (2) не меньше рядиуса сходимости ряда (1). 2) Для любого х (а –R; а+ R) S_i(х) = , где S – сумма ряда (1).

► Выберем некоторое х (а –R; а+ R). По теореме 1 ряд (1) равномерно сходится на сегменте, ограниченном точками а и х; значит, в силу теоремы 5. § 2, ряд (1) можно почленно проинтегрировать по указанному сегменту:

, т.е. = S_i(х).

Мы доказали тем самым, что ряд (2) сходится в точке х и нашли значение его суммы в этой точке. Но х – произвольная точка интервала (а –R; а+ R). Значит, (2) сходится в каждой точке этого интервала и поэтому утверждение 1) теоремы справедливо. Утверждение 2) теоремы. также доказано. ◄

Мы будем говорить, что ряд

(3)

получен почленным дифференцированием ряда (1). Ряд (3) есть веществен- ный степенной ряд. Его радиус сходимости обозначим через R_d, его сумму – через S_d.

Теорема 4. (О почленном дифференцировании степенного ряда) 1) Радиус сходимости ряда (3) не меньше радиуса сходимолсти ряда (1). 2) Сумма S(x) ряда (1) дифференцируема в каждой точке интерала сходимо- сти (а –R; а+ R), причем на этом интервале S′(x) = S_d(x).

► 1) Выберем некоторое х (а –R; а+ R) и докажем,что (3) сходится в этой точке. Найдется r, 0<r<R, такое, что х [ а –r; а+ r]. Так как х ₀ = а+ r при- надлежит (а –R; а+ R), ряд (1) абсолютно сходится в этой точке,т.е. сходится ряд . Общий член этого ряда стремится к нулю, значит, последова- тельность {|c_k| |} ограничена: существует М > 0 такое, что при всех k |c_k| | ≤ M. Теперь для выбранного выше х получим:

,

где q = < 1. С помощью признака Даламбера нетрудно установить, что ряд сходится;. Значит, сходится и ряд , т.е. (3) абсо- лютно сходится в выбранной точке х. Но х – произвольная точка интервала (а –R; а+ R), следовательно (3) сходится на этом интервале и поэтому R_d ≥ R..

2) Почленно проинтегрируем ряд (3): так как , то получим ряд . Очевидно, его сумма равна S(x) – с₀. По теореме З S(x) – с₀= . Отсюда: S(x) = с₀ + . S_d – непрерывная функция как сумма степенного ряда, поэтому интеграл с переменным верхним пределом - функция, дифференцируемая, причем ее производная равна S_d. Значит, если х (а –R; а+ R), то S′(x) = S_d(x). ◄

Следствие. Сумма степенного ряда имеет на интервале сходимости производные любого порядка.

► Действительно, Сумма S(x) ряда (1) – дифференцируемая функция, производная которой S′ (x) есть сумма ряда (3), полученного почленным дифференцированием ряда (1). Таким образом, S′ (x) в свою очередь явля- ется суммой степенного ряда (3); значит, она дифференцируема, а ее произ- водная S″(x) является суммой степенного ряда, полученного почленным диф- ференцированием ряда (3). Эти рассуждения могут быть продолжены неогра- ниченно. ◄

Теорема 5. (О сохранении радиуса сходимости при почленном интегриро- вании и дифференцировании степенного ряда) Пусть R, R_i и R_d – радиусы сходимости рядов (1),(2) и (3) соответственно. Тогда R = R_i = R_d.

► При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не уменьшается (утверждения 1) теорем 3 и 4). Почленно проинтегрировав ряд (3), получим ряд (см. доказа -тельство предыдущей теоремы), радиус сходимости которого, очевидно, ра- вен R; значит, R ≥ R_d. Вместе с неравенством R_d ≥ R (теорема 4) это даст R_d= R. Аналогично, почленно дифференцируя (2), докажем равенство R_i = R. ◄

Теорема 6. (О коэффициентах степенного ряда) 1) Для коэффициентов с_k ряда (1) справедливы равенства: с₀ = S(а) и при всяком натуральном k c_k= .

2) Пусть есть сумма некоторого вещественного степенного ряда ; если на некотором интервале (а –δ; а+δ), где δ > 0, ≡ S(х), то коэффициенты ряда совпадают с соответствующими коэффици- ентами ряда (1): при всех k = 0,1, … .

► 1) При всяком х на (а –R; а+ R) имеем:

S(х) = .

Последовательно дифференцируем это равенство:

S′(х) =

S′′(х) =

…………………………………………………….

S (х) = k(k-1)…2·1c_k + (k+1)k…2 c_k+1(x- a)+ …;

………………………………………………………

при х= а из этих равенств получаем: S(а) = с₀; S′(а) = с₁ ; S′′(а) = 2 с₂; … S (а) = = k! c_k, …, что и требовалось доказать.

2) Так как ≡ S(х) на (а –δ; а+δ), то и при всех натуральных k . Отсюда: = с₀, и при всех натуральных k = . ◄

Дата добавления: 2015-07-18