Разложение функций в степенные ряды. Для приложений, связанных с выражением закономерности y = f(x) (математической модели) в

Для приложений, связанных с выражением закономерности y = f(x) (математической модели) в виде простейших зависимостей, важным является представление этой функции в виде суммы (суперпозиции) степенных слагаемых. Или вообще в виде суммы степенного ряда.

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда

(9.4)

В выражение (9.4) подставим значение х = х₀, получим а₀ = f(x₀).

Найдём производные функции f(x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

В этих соотношениях для производных положим х = х₀, тогда

,

,

- - - - - - - - - - - -

.

Таким образом, разложение функции в степенной ряд имеет вид

(9.5)

Этот ряд называется рядом Тейлора, если в ряде Тейлора х₀ = 0, то ряд называется рядом Маклорена, он имеет вид

(9.6)

Можно доказать, что если функция представляется в виде степенного ряда, то это представление единственно. Для того, чтобы функция была бы представлена в виде суммы ряда Тейлора она должна быть дифференцирована бесконечное число раз в точке х = х₀.

Рассмотрим частичную сумму ряда Тейлора

, (9.7)

она называется многочленом Тейлора. Тогда функция f(x) может быть представлена суммой , где называется остаточным членом ряда Тейлора.

Разложение основных функций в степенные ряды:

,

,

,

,

,

,

,

.

Дата добавления: 2015-07-17