Необходимый признак сходимости ряда

Ряды

Числовые ряды

Определение 1. Пусть a₁, a₂, …, a_п, … - заданная числовая последователь-ность. Выражение

a₁ + a₂+…+ a_п + … = (9.1)

называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а_n – общим членом ряда.

Определение 2. Конечные суммы ,

……………..

……………..

называются частичными суммами ряда (9.1).

Определение 3. Если существует конечный предел последовательности

частичных сумм (здесь и в дальнейшем под n → ∞ будем понимать n → +∞), то ряд называется сходящимся, а число S - суммой ряда.

= S либо

Если не существует конечного предела последовательности частичных сумм , то ряд называется расходящимся.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член a_n стремился к нулю, т.е. .

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы и . Тогда . Для обеих частей этого равенства перейдём к пределу при .

Замечание. Данное условие не является достаточным, т.е. обратное утверждение не верно.

Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд

, ,

является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Дата добавления: 2015-07-17