taylor(expr, x, a, n),

Ряди

9.1. Числові ряди

Визначення 1. Нехай a₁, a₂, …, a_п, … - задана числова послідовність.Вираз

a₁ + a₂+…+ a_п + … = (9.1)

називається числовим рядом.

При цьому числа називатимемо членами ряду, а_n - загальним членом ряду.

Визначення 2. Кінцеві суми ,

……………..

……………..

називаються частковими сумами ряду (9.1).

Визначення 3. Якщо існує кінцева межа послідовності часткових сум (тут і надалі під n → ∞ розумітимемо n → +∞), то ряд називається збіжним, а число S - сумою ряду.

= S або

Якщо не існує кінцевої границі послідовності часткових сум , то ряд називається розбіжним.

При вивченні рядів вирішують в основному дві задачі: дослідження на збіжність і знаходження суми ряду.

Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд збіжний, то необхідно, щоб загальний член a_n прямує до нуля, тобто .

Доведення. Розглянемо часткові суми і . Тоді . Для обох частин цієї рівності перейдемо до границі при .

Зауваження. Ця умова не є достатньою, тобто зворотне твердження не вірне.

Можна говорити тільки про те, що якщо загальний член не прямує до нуля, то ряд точно розбігається. Наприклад, так званий гармонійний ряд

, ,

є розбіжним, хоча його загальний член і прямує до нуля.

Достатня умова розбіжності числового ряду

Якщо або ця границя не існує, то ряд розбігається.

Властивості збіжних рядів

1) Збіжність або розбіжність ряду не порушиться якщо змінити, відкинути або додати кінцеве число членів ряду.

2) Розглянемо два ряди і , де λ - постійне число.

Теорема. Якщо ряд збігається і його сума рівна S, то ряд теж збігається, і його сума рівна λ S (λ ¹ 0).

3) Розглянемо два ряди і . Сумою або різницею цих рядів називається ряд , де елементи отримані в результаті складання (віднімання) початкових елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди і збігаються і їх суми рівні відповідно S і
s, то ряд теж збігається і його сума рівна S +s.

Різниця двох збіжних ряді також буде збіжним рядом.

Достатні ознаки збіжності позитивних числових рядів

Необхідна ознака збіжності в загальному випадку не дозволяє судити про те, чи збігається цей ряд або ні. Збіжність ряду у багатьох випадках встановлюється за допомогою так званих достатніх ознак збіжності. Розглянемо деякі з цих ознак для часткового виду рядів. У цьому і наступному розділах розглядаються ряди , усі члени яких невід‘ємні a_n ≥ 0. Такі ряди називаються позитивними.

Дослідження збіжності (розбіжності) позитивного ряду зручно проводити шляхом порівняння його з іншим ("еталонним") рядом, про який відомо, збіжний він або ні. У основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Теорема 1. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0) і виконується нерівність a_n £ b_n при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а з розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

Доведення. Позначимо через S_n і s_n часткові суми рядів і . оскільки по умові теореми ряд збігається, то його часткові суми обмежені, тобто при усіх n s_n < M, де М - деяке число. Але оскільки a_n £ b_n, то S_n £ s_n те часткові суми ряду теж обмежені, а цього вистачає для його збіжності. Друге затвердження теореми доводиться методом від противного.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а гармонійний ряд розбігається, то розбігається також і ряд .

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а ряд збігається (як убиваюча геометрична прогресія), то ряд теж збігається.

Теорема 2 (гранична ознака порівняння). Якщо для позитивних рядів і існує кінцева і відмінна від нуля границя , то ряди і одночасно збігаються або розбігаються.

На практиці при застосуванні теорії порівняння часто як "еталонні" ряди використовуються наступні ряди, збіжність (розбіжність) яких відома:

1) Розбіжний гармонійний ряд ;

2) узагальнений гармонійний ряд ;

3) геометричний ряд .

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. Порівнюємо цей ряд із збіжним рядом , загальними членами цих рядів являються і . Застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

Теорема 3. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0) і виконується нерівність при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а із розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

Ознака Даламбера

Нехай для позитивного ряду існує границя . Тоді ряд збігається при l < 1 і розбігається при l >1.

Доведення. Нехай , причому , тоді . Покладемо,

що загальний член збіжного ряду , тобто , тоді по теоремі 3

із збіжності ряду виходить збіжність .

Якщо , тоді , а це означає, що елементи ряду зростають і по достатній умові розбіжності ряд розбігається.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За ознакою Даламбера . Ряд розбігається.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд

Розв‘язок. За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За ознакою Даламбера

= . Ряд збігається.

Радикальна ознака Коші

Нехай для позитивного ряду ( a_n ≥ 0) існує границя .

Тоді справедливі наступні твердження:

а) якщо, l < 1 те цей ряд збігається;

б) якщо, l > 1 те цей ряд розбігається.

Доведення. 1) Нехай , тоді . Розглянемо ряд із загальним членом , тобто - цей ряд збігається (), за ознакою порівнян-

нярядів і ряд збігається.

2) Нехай , тоді і загальний член ряду не прямує до нуля. Отже, ряд розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За радикальною ознакою Коші

. Ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші

Якщо члени позитивного ряду можуть бути представлені як числові значення деякої безперервної монотонно спадною на проміжку [1,+∞) функції f(x) так, що , , …, ,…, то ряд і невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення. Розглянемо криволінійну трапецію, яка обмежена графіком функції y = f(x), основою якої служить відрізок осі Ох від х = 1, до х = n. (рис. 9.1)

Рис. 9.1.

Побудуємо прямокутники з основами [1,2], [2,3], …, [ n -1, n ]. Враховуючи геометричний зміст визначного інтеграла, запишемо, що сума площин вхідних прямокутників менш ніж площа криволінійної трапеції, яка також менше ніж сума площин вихідних прямокутників (рис. 9.1)

+ +…+ < < + +…+

чи a₂ + a₃ +…+ a_n < < a₁ + a₂ + …+ a_n-1. Якщо ввести часткову суму ряду , то попередня нерівність запишеться у виді

< < .

Звідки витікає, що якщо інтеграл збігається, тобто = А, те має місце нерівність < < = A, тобто . Таким чином, послідовність часткових сум обмежена і має границю.

З іншого боку, якщо невласний інтеграл розбігається (), то і інтеграл необмежено зростає при . Враховуючи, що , отримуємо, що при , тобто ряд розбігається.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною ознакою =

= .

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною ознакою

= .

Знакозмінні ряди

Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченну безліч позитивних і нескінченну безліч негативних елементів.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд .

Теорема (достатня ознака збіжності знакозмінного ряду). Якщо збігається ряд , складений з модулів членів ряду, то збігається і сам знакозмінний ряд .

Доведення. Розглянемо допоміжний ряд . Очевидно, що для усіх . Але ряд збігається, тому на підставі ознаки порівняння збігається і ряд . Оскільки цей знакозмінний ряд є різницею двох збіжних рядів = - , то він збігається.

Якщо ряд збігається, а ряд , складений з абсолютних величин, розбігається, то говорять, що ряд збігається умовно.

Розглянемо важливий клас рядів, які називаються знакопереміжними. Знакопереміжним рядом називається ряд, для якого члени, які стоять поруч, мають різні знаки, тобто

.

Для знакопереміжних рядів має місце достатня ознака збіжності Лейбніца.

Теорема (ознака Лейбніца) Якщо для знакопереміжного ряду :

1) послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто ;

2) загальний член ряду прямує до нуля , то ряд збігається.

Доведення. Розглянемо часткову суму парного числа (2m) членів ряду

.

Вираз в кожній дужці по першій умові теореми позитивний. Отже, сума . З іншого боку можна переписати у виді

.

Звідки видно, що . Таким чином, послідовність …, S_2m,… зростає і обмежена зверху. Отже, вона має границю , причому .

Розглянемо тепер часткові суми непарного числа (2m+1) членів ряду. Очевидно, що , тому

,

оскільки по другій умові теореми . Отже при будь-яко-ому n (парному або непарному), тобто ряд збігається, причому .

9.2. Функціональні ряди

Ряд називається функціональним, якщо його елементи є функціями, які визначені на одній множені Х

(9.2)

При різних значеннях х функціональний ряд стає числовим. Якщо при х = х₀ числовий ряд збігається, то точка х₀ називається точкою збіжності; якщо ж ряд розбігається - точкою розбіжності функціонального ряду.

Множина числових значень аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності.

У області збіжності функціонального ряду його сума є функцією від аргументу х і вона визначається як границя часткових сум ряду (9.2).

Степеневі ряди

Степеневим рядом називається ряд виду

. (9.3)

Розглянемо теорему, що має важливе значення в теорії степеневих рядів для визначення області збіжності степеневого ряду.

Теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд (9.3) збігається при x = x₀, то він збігається і притому абсолютно для усіх ;

2) якщо степеневий ряд (9.3) розбігається при x = x₁, то він розбігається для усіх .

Доведення. Оскільки числовий ряд збігається, то з необхідної умови збіжності загальний член при , звідки витікає, що послідовність { } обмежена, тобто існує таке число М > 0, що | | < M, n = 0, 1, 2,… Перепишемо ряд (9.3) у виді

і розглянемо ряд, складений з абсолютних величин його членів

(*)

Члени цього ряду через нерівність менше членів ряду

Цей ряд є сумою членів геометричної прогресії зі знаменником і, отже, збігається. За ознакою порівняння ряд (*) також збігається, а це означає, що при ряд (9.3) збігається абсолютно.

2) Доведемо тепер другу частину теореми. По умові, в точці х₁ ряд (9.3) розбігається. Вимагається показати, що він розбігається для усіх х, що задовольняють умові . Припустимо зворотне, тобто допустимо, що при деякому значенні х такому, що , ряд (9.3) збігається. Тоді по тільки що доведеній першій частині теореми ряд (9.3) повинен збігається в точці х₁, оскільки . Але це суперечить тому, що в точці х₁ ряд розбігається.

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля стверджує, що якщо х₀ - точка збіжності степеневого ряду, то в усіх точках, розташованих на інтервалі (рис 9.2а), цей ряд збігається абсолютно, а якщо х₁ - точка розбіжності ряду, то в усіх точках, розташованих поза інтервалом (рис.9.2б), ряд розбігається.

Рис. 9.2.

Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду. Поклавши , інтервал збіжності можна записати у виді (- R, R). Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, тобто R > 0 - таке число, що при усіх | х | < R, ряд (9.3) абсолютно збігається, а при | х | > R розбігається. Відмітимо, що інтервал збіжності для деяких рядів охоплює усю числову пряму (в цьому випадку ), у інших вироджується в одну точку (). Таким чином, всякий степеневий ряд має свій радіус збіжності R. При х = ± R ряд може або збігатися, або розбігатися. Це питання вирішується у кожному конкретному випадку.

Можна показати, що з ознаки збіжності Даламбера радіус збіжності степеневого ряду може бути визначений співвідношенням .

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду

Розв‘язок. Знаходимо радіус збіжності

.

Отже, цей ряд збігається при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прямує до нуля.

Приклад 2. Знайти область збіжності ряду

Розв‘язок. Знаходимо радіус збіжності

Отже, ряд сходиться при - 2 < x + 2 < 2, тобто при - 4 < х < 0. При х = - 4 маємо ряд , який за ознакою Лейбніца збігається. При х = 0 маємо ряд, що розбігається .

Отже, областю збіжності початкового ряду є - 4 ≤ х < 0.

Приклад 3. Ряд розбігається на усій числовій прямій, окрім точки х = 0, оскільки радіус збіжності .

Розкладання функцій в степеневі ряди

Для додатків, пов'язаних з вираженням закономірності y = f(x) (математична модель) у вигляді простих залежностей, важливим є представлення цієї функції у вигляді суми (суперпозиції) степеневих доданків. Чи взагалі у вигляді суми степеневого ряду.

Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду

(9.4)

У вираз (9.4) підставимо значення х = х₀, отримаємо а₀ = f(x₀).

Знайдемо похідні функції f(x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

У цих співвідношеннях для похідних покладемо х = х₀, тоді

,

,

- - - - - - - - - - - -

.

Таким чином, розкладання функції в степеневий ряд має вигляд

(9.5)

Цей ряд називається рядом Тейлора, якщо у ряді Тейлора х₀ = 0, то ряд називається рядом Маклорена, він має вигляд

(9.6)

Можна довести, що якщо функція представляється у вигляді степеневого ряду, то це представлення єдине. Для того, щоб функція була б представлена у вигляді суми ряду Тейлора вона має бути диференційована нескінченне число разів в точці х = х₀.

Розглянемо часткову суму ряду Тейлора

, (9.7)

вона називається многочленом Тейлора. Тоді функція f(x) може бути представлена сумою , де називається залишковим членом ряду Тейлора.

Розкладання основних функцій в степеневі ряди:

,

,

,

,

,

,

,

.

Ряди Фур'є

Іншою універсальною математичною моделлю є представлення функціональної залежності у вигляді суми (накладення) простих гармонік. Такий модельний підхід застосовується при вивченні різноманітних періодичних процесів, які повторюються через певний проміжок часу. В цьому випадку доцільно розкладати періодичні функції, що описують ці процеси, в так званий тригонометричний ряд.

Тригонометричним рядом називається функціональний ряд виду

, (9.7)

де називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Якщо ряд (9.7) збігається, то його сума є періодичною функцією з періодом , оскільки функції і також періодичні функції з періодом .

Нехай тригонометричний ряд рівномірно сходиться на відрізку [-π; π], а його сума рівна .

Визначимо коефіцієнти цього ряду.

Для вирішення цієї задачі скористаємося наступними рівностями:

Оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [-p; p], то існує інтеграл

Такий результат виходить в результаті того, що

.

Отримуємо: .

Далі множимо вираження розкладання функції в ряд на cosnx і інтегруємо в границях від -p до p.

Звідси отримуємо:

Аналогічно множимо вираження розкладання функції в ряд на sinnx і інтегруємо в межах від -p до p.

Отримуємо:

Таким чином, якщо функція f(x) - будь-яка періодична функція періоду 2p, безперервна на відрізку [-p; p] або що має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду, то коефіцієнти

існують і називаються коефіцієнтами Фур'є для функції f(x).

Рядом Фур'є для функції f(x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур'є. Якщо ряд Фур'є функції f(x) збігається до неї в усіх її точках безперервності, то говорять, що функція f(x) розкладається в ряд Фур'є.

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом T = 2p на відрізку [-p; p].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фур'є шукаємо у виді:

,

де

Отримуємо: .

9.3. Розкладання функції в ряд Тейлора в Maxima

У Maxima існує спеціальна функція, що дозволяє обчислювати ряди і многочлени Тейлора taylor.

Синтаксис застосовності функції taylor

taylor(expr, x, a, n),

тут expr - розкладаємий в ряд вираз;

a - значення x, в околиці якого виконується розкладання ( по степеням x − a);

n - параметр, що вказує на порядок розкладання і представлений цілим пози-

тивним числом.

Якщо a вказується просто у вигляді імені змінної, то виробляється обчислення ряду і многочлена Маклорена.

Приклад 1. Знайти многочлен Тейлора 8-ій степені експоненціальної функції e^x на початку координат

Разом з командою taylor для розкладання функцій і виразів в ряди використується команда powerseries (будується розкладання для заданого виразу по змінній x в околу a). Результатом виконання команди powerseries може бути побудова її ряду Тейлора в загальній формі, наприклад:

Ряди можна складати, віднімати, множити і ділити один на одного, при цьому точність розкладання враховується автоматично, наприклад

тобто розкладання йде до п'ятого порядку (точність першого ряду).

Завдання для самостійного розв‘язку

Розкласти функцію в ряд Тейлора по степеням х в точці х = 1 до шостого порядку

1) 2) . 3) 4) 5)

6) 7) 8) . 9) .

10) 11) . 12) .

---

Дата добавления: 2015-07-17