Теорема(достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если сходится ряд , составленный из модулей членов ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд . Очевидно, что для всех . Но ряд сходится, поэтому на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов = - , то он сходится.

Если ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин, расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд, для которого рядом стоящие члены имеют разные знаки, т.е.

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница) Если для знакочередующегося ряда :

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2) общий член ряда стремится к нулю , то ряд сходится.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа (2 m) членов ряда

.

Выражение в каждой скобке по первому условию теоремы положительно. Следовательно, сумма . С другой стороны можно переписать в виде

.

Откуда видно, что . Таким образом, последовательность …, S_2m,…возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причём .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечётного числа (2 m +1) членов ряда. Очевидно, что , поэтому

,

так как по второму условию теоремы . Итак при любом n (чётном или нечётном), т.е. ряд сходится, причём .

Дата добавления: 2015-07-17