Интегральный признак Коши. Если члены положительного ряда могут бытьпредставлены как числовые значения

Если члены положительного ряда могут бытьпредставлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1,+∞) функции f(x) так, что , , …, ,…, то ряд несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = f(x), основанием которой служит отрезокоси Ох от х = 1, до х = n. (рис. 9.1)

Рис. 9.1.

Построим входящие и выходящие прямоугольники с основаниями [1,2], [2,3], …, [ n -1, n ]. Учитывая геометрический смысл определённого интеграла, запишем

+ +…+ < < + +…+

или a₂ + a₃ +…+ a_n < < a₁ + a₂ + …+ a_n-1. Если ввести частную сумму ряда , то предыдущее неравенство запишется в виде

< < .

Откуда следует, что если интеграл сходится, т.е. = А, то имеет место неравенство < < = A, т.е. . Таким образом, последовательность частичных сумм ограничена и имеет предел.

С другой стороны, если несобственный интеграл расходится (), то и интеграл неограниченно возрастает при . Учитывая, что , получаем, что при , т.е. ряд расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим функцию , для которой . По интегральному признаку =

= .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим функцию , для которой . По интегральному признаку =

= .

Дата добавления: 2015-07-17