Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов

Необходимый признак сходимости в общем случае не позволяет судить о том, сходится ли данный ряд или же нет. Сходимость ряда во многих случаях устанавливается с помощью так называемых достаточных признаков сходимости. Рассмотрим некоторые из этих признаков для частного вида рядов. В этом и следующем разделах будут рассматриваться ряды , все члены которых неотрицательны a_n ≥ 0. Такие ряды называются положительными.

Исследованиесходимости (расходимости) положительного ряда удобно проводить путём сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда и (a_n, b_n ³ 0)

и выполняется неравенство a_n £ b_n при любом n, тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через S_n и s_n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n s_n < M, где М – некоторое число. Но т.к. a_n £ b_n, то S_n £ s_n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для его сходимости. Второе утверждение теоремы доказывается методом от противного.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Если для положительных рядов и существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и одновременно сходятся или расходятся.

На практике при применении теории сравнения часто в качестве «эталонных» рядов используются следующие ряды, сходимость (расходимость) которых известна:

1) расходящийся гармонический ряд ;

2) обобщённый гармонический ряд ;

3) геометрический ряд .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд со сходящимся рядом , общими членами этих рядов являются и . Применяем предельный признак сравнения . Ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся рядом , применяем предельный признак сравнения . Ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся рядом , применяем предельный признак сравнения . Ряд расходится.

Теорема 3. Пусть даны два положительных ряда и (a_n, b_n ³ 0)

и выполняется неравенство при любом n, тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Дата добавления: 2015-07-17