Степенные ряды. Степенным рядомназывается ряд вида

Степенным рядом называется ряд вида

. (9.3)

Рассмотрим теорему, имеющее важное значение в теории степенных рядов и касающаяся области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд (9.3) сходится при x = x₀, то он сходится и притом абсолютно для всех ;

2) если степенной ряд (9.3) расходится при x = x₁, то он расходится для всех .

Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то из необходимого условия сходимости общий член при , откуда следует, что последовательность { } ограничена, т.е. существует такое число М > 0, что | | < M, n = 0, 1, 2, …Перепишем ряд (9.3) в виде

и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(*)

Члены этого ряда в силу неравенства меньше членов ряда

Данный ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится. По признаку сравнения ряд (*) также сходится, а это значит, что при ряд (9.3) сходится абсолютно.

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию, в точке х₁ ряд (9.3) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех х, удовлетворяющих условию . Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении х таком, что , ряд (9.3) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (9.3) должен сходиться в точке х₁, так как . Но это противоречит тому, что в точке х₁ ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-17