В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Читайте также:

Одной из центральныхзадач в теории степенных рядов является задача разложения элементарных функций в степенные ряды.

Постановка задачи. Пусть дана некоторая функция . Требуется установить:

1) может ли эта функция быть представлена на заданном интервале в виде некоторого степенного ряда, т.е. может ли быть «разложена в степенной ряд»?

2) если да, то как найти этот ряд?

Предположим, что для функции степенной ряд существует, т.е. имеет место разложение.

(16)

Найдем коэффициенты , , ,...

Если в равенство (16) подставить , то получим

Продифференцируем последовательно обе части равенства (16) и, полагая в полученных равенствах , получим:

……. ……. …….

Следовательно, искомые коэффициенты степенного ряда в правой части (16), вычисляются по формулам:

, , , , …, .

Подставив найденные коэффициенты в правую часть равенства (16), получим

– ряд Тейлора.

При имеем – ряд Маклорена.

Ответ на вопрос о возможности разложения функции в степенной ряд дает сформулированная ниже теорема. Предварительно представим в виде

где – остаточный член ряда, который может быть представлен в форме Лагранжа , заключено между и .

ТЕОРЕМА 12

Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. . | Из расходимости ряда следует расходимость ряда . | Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно. | Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при и расходится при . | Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится. | Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл | Б) (т.е. общий член ряда стремится к нулю при ), то такой ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена. | Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. | Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся. | Членами которого являются функции, называется функциональным. |

<== предыдущая страница	\|	следующая страница ==>
Точка x0 называется центром степенного ряда.	\|	Некоторых функций

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)