Разложение функций в степенные ряды

Известно, что для функции , имеющей производные до –го порядка включительно в окрестности точки , справедлива формула Тейлора:

, (6.5)

где остаточный член .

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора (6.5) получим разложение функции по степеням , которое называют рядом Тейлора:

. (6.6)

При получим разложение функции по степеням , которое называют рядом Маклорена:

. (6.7)

Отметим, не доказывая, что для каждой из элементарных функций остаточный член в формуле Тейлора стремится к нулю при в некотором интервале, т.е. функция разлагается в ряд Тейлора.

Приведём разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

1) , , (6.8)

2) , , (6.9)

3) , , (6.10)

4) , , (6.11)

5) , . (6.12)

Замечания: 1) сходимость ряда (6.11) при зависит от значения ;

2) ряд (6.12) при сходится по признаку Лейбница.

При разложении в ряд более сложных функций используют либо непосредственно формулу (6.7), либо полученные разложения (6.8) – (6.12).

Пример 6.5. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как то, заменив в формуле (6.12) на , получим

Полученный ряд сходится, если , или , или .

Пример 6.6. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как то, заменив на в разложении (6.11) при , получим

Полученный ряд сходится, если , т.е. .

Пример 6.7. Разложить функцию по степеням .

Решение. Запишем функцию в виде .

Заменив в формуле (6.8) на , получим

Ряд сходится при .

Дата добавления: 2015-07-17