Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами (ряд с отрицательными членами превращается в знакоположительный путем умножения на , что, согласно свойствам рядов, не влияет на сходимость ряда).

Теорема 5.2 (признак сравнения).

Пусть даны два ряда и . Если для всех выполняется неравенство

, (5.5)

то из сходимости ряда следует сходимость ряда ,

из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим −е частичные суммы рядов и соответственно через и , причем в силу условия (5.5). Пусть ряд сходится, тогда существует и , так как члены ряда положительны. Последовательность частичных сумм ряда является возрастающей (с ростом увеличивается сумма положительных слагаемых) и ограниченной . Следовательно, последовательность имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.

Пусть теперь ряд расходится. Предположим, что ряд сходится,

тогда, по вышедоказанному, сходится и ряд . Получили противоречие.

Пример 5.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с геометрической прогрессией . Прогрессия сходится . Так как , то и данный ряд сходится.

Пример 5.6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Так как (при ), а ряд расходится, то и ряд расходится.

Теорема 5.3 (предельный признак сравнения). Если и – ряды с положительными членами и существует конечный, отличный от нуля предел , то ряды одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство. По определению предела последовательности для любого выполняется неравенство для любого , откуда . Если ряд сходится, то сходится ряд и в силу признака сравнения (теорема 5.2) будет сходиться ряд . Аналогично, если сходится ряд , то сходится ряд и сходится ряд . Таким образом, из сходимости одного ряда или следует сходимость другого из этих рядов. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично.

Пример 5.7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Так как , то данный ряд так же, как и гармонический, расходится.

Пример 5.8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом : . Отсюда из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда.

Теорема 5.4 (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

Доказательство не приводим.

Пример 5.9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Вычислим предел

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 5.10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Вычислим предел

.

Так как , то по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 5.11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как , то бесконечно малая функция и .

Тогда ; ряд сходится.

Замечание. Если , то следует использовать другие признаки сходимости.

Теорема 5.5 (интегральный признак Коши). Пусть члены знакоположительного ряда являются значениями некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что . Тогда

1) если сходится, то сходится и ряд ;

2) если расходится, то и ряд расходится.

Доказательство не приводим.

Пример 5.12. Доказать, что ряд сходится при и расходится при .

Решение. Функция непрерывна, убывает при . Если , то

Если , то , то есть имеем гармонический ряд , который расходится.

Итак, ряд сходится при и расходится при . Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом.

Пример 5.13. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим функцию , которая удовлетворяет

условию теоремы 5.5.

Так как , т.е. расходится, то по интегральному признаку данный ряд также расходится.

Пример 5.14. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Функция непрерывна и монотонно убывает при . Несобственный интеграл является сходящимся, следовательно, исходный ряд сходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

1. . 2. 3. . 4.

Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

5. . 6. . 7. . 8. .

Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака:

9. . 10.

Ответы: 1. Сходится. 2. Сходится. 3. Расходится. 4. Расходится. 5. Сходится.

6. Расходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Расходится. 10. Сходится.

Дата добавления: 2015-07-17