Необходимый признак сходимости

Установить сходимость или расходимость ряда путем вычисления (как это сделано в примерах 5.1, 5.2) во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда используют специальные признаки сходимости.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится. Тогда, учитывая, что , получим .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если предел -го члена ряда отличен от нуля или не существует, то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то, согласно теореме 5.1, , что противоречит условию. Следовательно, ряд расходится.

Пример 5.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. , поэтому по достаточному условию расходимости данный ряд расходится.

Пример 5.4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как по второму замечательному пределу , то ряд расходится.

Следует отметить, что теорема 5.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, т.е. если , то из этого еще не следует, что ряд сходится. В качестве примера рассмотрим ряд

, (5.4)

называемый гармоническим. Здесь . Однако этот ряд является расходящимся. Покажем это. Запишем сумму первых и членов ряда:

, .

Найдем разность , в которой каждое слагаемое заменим наименьшим, равным . Получим , или . Теперь предположим, что ряд (5.4) сходится, тогда . Переходя к пределу в неравенстве, получим, что , или . Пришли к противоречию, следовательно предположение о сходимости ряда (5.4) неверно, т.е. гармонический ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения

Доказать, что ряды расходятся.

1. . 2. . 3. .

Дата добавления: 2015-07-17