Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов решения дифференциального уравнения второго порядка является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению первого порядка. Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида

(3.4)

не содержит искомую функцию и её производную. Порядок уравнения понижается путем последовательного интегрирования.

Так как , то дифференциальное уравнение (3.4) можно записать в

виде . Интегрируя, получаем: или . Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его:

, ,

− общее решение уравнения (3.4).

Если дано уравнение , то, проинтегрировав его последовательно раз, получим общее решение.

Пример 3.1. Решить уравнение .

Решение. Последовательно интегрируя три раза данное уравнение, получим:

,

,

– общее решение уравнения.

Пример 3.2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Интегрируем уравнение

.

Подставляя , в это равенство, находим : , .

Отсюда .

Находим из начальных условий: , .

Таким образом, − частное решение данного уравнения.

2. Рассмотрим уравнение вида

, (3.5)

которое не содержит явно искомую функцию . Порядок уравнения понижается заменой , где − новая неизвестная фунция. Тогда и дифференциальное уравнение (3.5) принимает вид , т.е. получаем уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Проинтегрировав это уравнение, найдем его общее решение . Так как , то для нахождения искомой функции получим уравнение .Решив это уравнение первого порядка, получим общее решение исходного уравнения .

Пример 3.3. Найти общее решение уравнения .

Решение. В уравнении отсутствует явно функция , т.е. оно имеет вид (3.5).

Поэтому произведём замену , . Получим уравнение

, или .

Разделяя переменные, будем иметь . Интегрируя, получаем:

, или .

Так как , то , или . Разделим переменные: . Интегрируя, получим общее решение .

Пример 3.4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Положив , , получим − линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его заменой :

, или .

Функцию находим из уравнения :

, , .

Для нахождения функции получаем уравнение или . Интегрируя, имеем . Следовательно, или . Заменим на : . Отсюда есть общее решение исходного уравнения.

3. Рассмотрим уравнение вида

, (3.6)

которое не содержит явно независимую переменную .

Для понижения порядка используется снова подстановка , но . Найдем , учитывая, что − сложная функция:

, т.е. .

Подставляя выражения и в уравнение (3.6), получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдем общее решение . Заменим на : − уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (3.6):

.

Пример 3.5. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Уравнение имеет вид (3.6). Пусть . Тогда и уравнение примет вид: . Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя его, получаем: , или .

Заменяем на : . Подставляем в это равенство начальные условия , : , . Тогда , или . Интегрируя это уравнение, получим: . Найдем из начальных условий . Таким образом, , или − частное решение данного уравнения.

Примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений:

1. 2. 3. 4.

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений:

5. . 6. .

Ответы: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Дата добавления: 2015-07-17