Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение это уравнение вида

. (2.7)

Уравнение (2.7) с помощью подстановки

, т.е. , (2.8)

где , преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Действительно, подставляя и в уравнение, получим или . Это – уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 2.4. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к виду (2.7):

Положим , тогда . Подставляя в уравнение, получим: , . Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

, , .

Проинтегрируем: , ,

.

Заменяя на , получаем – общий интеграл исходного уравнения или − общее решение уравнения.

Пример 2.5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Выразим из уравнения :

, , .

Разделив числитель и знаменатель дроби на , получим однородное уравнение . Подставим в уравнение , :

, .

Разделим переменные: , .

Проинтегрируем: , .

Заменяя на , получим − общий интеграл уравнения.

Дата добавления: 2015-07-17