Однородные линейные уравнения

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) второго порядка:

. (4.2)

Установим некоторые основные свойства решений однородных уравнений.

Теорема 4.1. Если функции и являются частными решениями уравнения , то функция , где − произвольные постоянные, есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как и – решения уравнения, то

и .

Подставим функцию в уравнение (4.2) и, принимая во внимание эти тождества, получим:

,

т.е. функция есть решение уравнения.

Итак, функция удовлетворяет уравнению (4.2) при любых значениях постоянных . Является ли функция общим решением однородного уравнения?

Для ответа на этот вопрос введем понятия линейной независимости и линейной зависимости функций.

Две функции называются линейно независимыми на интервале , если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если . В противном случае функции называются линейно зависимыми.

Например, функции и − линейно зависимы:

;

функции и − линейно независимы: ;

функции и также линейно независимы: .

Пусть функции и дифференцируемы на интервале . Определитель (4.3)

называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.

Теорема 4.2. Если функции линейно зависимы на интервале , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то на или . Тогда

.

Теорема 4.3. Если частные решения уравнения линейно независимы на , то определитель Вронского ни в одной точке этого интервала не обращается в нуль.

Доказательство не приводим.

Из теорем 4.2 и 4.3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность двух линейно независимых на интервале частных решений ОЛДУ второго порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Следующая теорема отвечает на вопрос: при каких условиях функция будет общим решением уравнения (4.2)?

Теорема 4.4 (о структуре общего решения ОЛДУ). Если два частных решения ОЛДУ образуют на интервале фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения будет функция , где ─ произвольные постоянные.

Доказательство. Согласно теореме 4.1 функция есть решение уравнения (4.2). Докажем теперь, что каковы бы ни были допустимые начальные условия

, (4.4)

можно так подобрать единственные значения произвольных постоянных , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло начальным условиям.

Подставив решение в начальные условия (4.4), получим

систему уравнений относительно неизвестных :

(4.5)

Определитель этой системы

есть вронскиан функций , вычисленный в точке : .

Так как решения линейно независимы, то согласно теореме 4.3 вронскиан ни в одной точке интервала не обращается в нуль. Следовательно, система уравнений (4.5) имеет единственное решение . Частное решение удовлетворяет начальным условиям (4.4).

Таким образом доказано, что функция

(4.6)

есть общее решение ОЛДУ.

---

Дата добавления: 2015-07-17