Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью можно вычислять значения функций с любой степенью точности, неопределенные и определенные интегралы; интегрировать дифференциальные уравнения.

Приближённые вычисления значений функции

Пример 6.8. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Согласно формуле (6.8) . Так как , а , то для остатка знакочередующегося ряда имеем: (по следствию из теоремы 5.6). Поэтому

.

Пример 6.9. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Запишем ряд (6.13) при :

.

В скобках стоит знакоположительный ряд. Оценим ошибку вычисления , которую мы допустим, если возьмём четыре члена ряда:

,

т.е. . Следовательно, .

Приближённые вычисления определенных интегралов

Некоторые определённые интегралы являются слишком сложными для вычислений или первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Иногда такие интегралы удобно вычислять с помощью рядов. Поясним это на примерах.

Пример 6.10. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя формулу (6.9).

.

Интегрируем:

Так как , а , то с точностью до 0,0001

.

Пример 6.11. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Решение. Получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд. Для этого в формуле (6.12) положим и заменим на :

.

Этот ряд сходится при . Промежуток интегрирования принадлежит интервалу сходимости ряда. Поэтому

Так как , а , то интеграл с точностью до 0,001.

Дата добавления: 2015-07-17