Степенные ряды. Функциональный ряд вида , или , называется степенным рядом.

Функциональный ряд вида , или , называется степенным рядом.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что , а если этот ряд расходится в точке , то он расходится при всяком , для которого .

Для всякого степенного ряда существует неотрицательное число такое, что ряд абсолютно сходится на интервале .

Число называется радиусом сходимости ряда, а интервал – интервалом сходимости ряда.

Для радиуса сходимости степенного ряда справедливы формулы:

; .

Пользоваться этими формулами следует осторожно, т. к. пределы, стоящие в правых частях формул, могут не существовать. Это, например, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или нечетными степенями . В таких случаях при определении интервала сходимости следует применять признаки Даламбера или Коши непосредственно.

Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на интервале , где радиус сходимости ряда.

Пусть . Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то:

1) в интервале сходимости функция имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда;

2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т. е.

;

3) степенные ряды, получаемые из ряда при почленном дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример 2.4. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а) . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

б) . Ряд сходится абсолютно, если , т. е. в интервале . При получаем числовой ряд , который расходится, т. к. для его общего члена справедлива асимптотическая формула . В точке получаем знакочередующийся ряд , сходящийся по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости ряда – полуинтервал , а область абсолютной сходимости – интервал .

в) . Ряд сходится абсолютно, если , т. е. в интервале . При и ряд абсолютно сходится, т. к. по интегральному признаку сходится ряд

.

Поэтому область абсолютной сходимости ряда – отрезок .

г) Обозначим . Вычислим

.

Очевидно, предел существует, если , т. е. . При ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости и абсолютной сходимости ряда – интервал .

Найти интервал сходимости степенного ряда:

2.27. .	2.28. .
2.29. .	2.30. .
2.31. .	2.32. .

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости:

2.33. .	2.34. .
2.35. .	2.36. .
2.37. .	2.38. .
2.39. .	2.40. .
2.41. .	2.42. .

Найти область сходимости ряда:

2.43. .	2.44. .
2.45. .	2.46. .
2.47. .	2.48. .

Ответы: 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. . 2.32. . 2.33. , , при и расходится. 2.34. , , при сходится условно, при расходится. 2.35. , , при и расходится. 2.36. , , при и расходится. 2.37. , , при и расходится. 2.38. , , при сходится условно, при расходится. 2.39. , , при расходится. 2.40. , , при сходится абсолютно, если , и условно, если , при сходится абсолютно, если , и расходится, если . 2.41. , , при сходится абсолютно, если , и условно, если , при сходится абсолютно, если , и расходится, если . 2.42. , , при расходится. 2.43. . 2.44. . 2.45. . 2.46. . 2.47. , . 2.48. , .

Дата добавления: 2015-07-17