Признаки сходимости функциональных рядов

Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве .

Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся в точке .

Если функциональный ряд сходится в каждой точке , то этот ряд называют сходящимся на множестве .

Множества значений , для которых сходятся ряды и , называются соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда .

Функция называется - й частичной суммой ряда , а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве ряда называют его суммой:

.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся на множестве , если:

1) существует предельная функция ;

2) для любого числа можно указать число такое, что для всех и для всех .

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм или остаток ряда равномерно сходится к нулю.

Критерий Коши. Ряд равномерно сходится на множестве тогда и только тогда, когда .

Признак Вейерштрасса. Пусть для всех выполняется неравенство . Пусть, кроме того, числовой ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

В случае, когда выполняется неравенство , , говорят, что ряд мажорируется рядом .

Признак Абеля. Ряд сходится равномерно на множестве , если:

1) ряд равномерно сходится на множестве ;

2) функции ограничены в совокупности и при каждом образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле. Ряд сходится равномерно на множестве , если:

1) частичные суммы в совокупности ограничены;

2) последовательность функций монотонна для каждого и равномерно на стремится к нулю при .

Свойства функциональных рядов

1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Если члены ряда непрерывны и этот ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке , то ряд можно почленно интегрировать, т. е. выполняется равенство

,

причем полученный функциональный ряд тоже будет сходиться равномерно.

3. Если члены сходящегося ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке , а ряд производных равномерно сходится на отрезке , то ряд сходится равномерно на отрезке и допускает почленное дифференцирование, т. е.

.

Пример 2.1. Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках:

а) на отрезке ;

б) на всей числовой прямой;

в) на всей числовой прямой.

Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Тогда:

а) Т. к. при выполняется неравенство , а ряд сходится, то ряд равномерно и абсолютно сходится на отрезке .

б) Ряд равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т. к. , а ряд сходится.

в) Неравенство выполняется при любом . Числовой ряд сходится. Следовательно, ряд равномерно и абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2.2. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:

а) ; б) .

Решение. а) Обозначив , будем иметь

.

На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится абсолютно, если , т. е. при ; ряд расходится, если , т. е. если . При получаем гармонический ряд , который расходится, а при – ряд , который (по признаку Лейбница) сходится условно.

Таким образом, область сходимости, область абсолютной сходимости.

б) Обозначим . Имеем

.

Ряд сходится абсолютно, если , т. е. при ; ряд расходится, если . При получаем ряд , а при – ряд . Оба ряда расходятся.

Таким образом, область сходимости и абсолютной сходимости ряда.

Пример 2.3. Доказать, что ряд не сходится равномерно в интервале , но сходится равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.

Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим при

.

Интервал содержит точки, сколь угодно близкие к точке , а так как , то, как бы велико ни было число , найдутся точки , для которых больше любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое , чтобы при неравенство имело место во всех точках интервала . Это означает, что сходимость ряда в интервале не является равномерной.

Возьмем лежащий внутри интервала отрезок , где – сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке , следовательно, . Поскольку числовой ряд сходится, то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке .

Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функционального ряда:

2.1. .	2.2. .
2.3. .	2.4. .
2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .
2.9. .	2.10. .

Исходя из определения равномерной сходимости доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

2.11. .	2.12. .
2.13. .
2.14. .

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

2.15. .	2.16. .
2.17. .	2.18. .
2.19. .	2.20. .
2.21. .	2.22. .

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональный ряд в указанном промежутке:

2.23. .	2.24. .
2.25. .	2.26. .

Ответы: 2.1. Сходится абсолютно при . 2.2. Сходится абсолютно при всех . 2.3. Сходится абсолютно при . 2.4. Сходится абсолютно при . 2.5. Сходится абсолютно при , сходится условно при . 2.6. Сходится абсолютно на отрезках , . 2.7. Сходится абсолютно при . 2.8. Сходится абсолютно при . 2.9. Сходится абсолютно при . 2.10. Сходится абсолютно при . 2.23. Сходится равномерно. 2.24. Сходится равномерно. 2.25. Сходится равномерно. 2.26. Сходится равномерно.

Дата добавления: 2015-07-17