Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков, то степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке .

В случае, когда , ряд Тейлора называют рядом Маклорена.

Остаточный член ряда Тейлора может быть представлен:

а) в форме Лагранжа

, ;

б) в форме Коши

, ;

в) в интегральной форме

.

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции , остаточный член ряда должен стремиться к 0 при .

Если для отрезка при любом , то для всех .

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

1. .

2. , .

3. .

4. .

5. , где , .

В последнем разложении , иначе разложение будет содержать лишь слагаемое.

Важные частные случаи формулы (5):

, .

, .

Приемы и методы разложения функций в ряд Тейлора. Обычно коэффициенты ряда Тейлора находят с помощью формул (1) – (5), применяя различные приемы: представление данной функции в виде суммы более простых функций, замену переменной, почленное дифференцирование и интегрирование ряда и др.

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрим задачу Коши

,

, .

Если функции , , представляются степенными рядами вида , сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки , то существует единственное решение задачи Коши, представимое в виде степенного ряда , сходящегося в некоторой окрестности точки .

Найдя из равенства с помощью дифференцирования степенные ряды для и , подставив в дифференциальное уравнение вместо , , , , , их разложения в степенные ряды и произведя арифметические действия над рядами, получим равенство степенных рядов. Из полученного равенства можно последовательно найти коэффициенты и тем самым решить задачу Коши.

Нахождение сумм рядов. При вычислении сумм числовых рядов иногда удается представить ряд в виде линейной комбинации известных рядов:

	.		.
	.		.

Пример 2.5. Найти сумму ряда .

Решение. Дифференцируя почленно ряд , получаем . Следовательно,

.

Пример 2.6. Разложить функцию в ряд по степеням .

Решение.

=

.

Из последней формулы видно, что для первого ряда , а для второго ряда . Значит, радиус сходимости для суммы рядов равен . Окончательно получим

.

Пример 2.7. Найти сумму ряда .

Решение. Дифференцируя почленно ряд , получаем . Следовательно,

.

Пример 2.8. Найти сумму ряда , а затем вычислить сумму ряда .

Решение. Ряд сходится на интервале (геометрическая прогрессия). Его сумма равна . На любом отрезке , где , ряд сходится равномерно, а его члены – непрерывные функции. Интегрируем почленно этот ряд на отрезке , где :

; .

Положим , тогда ; следовательно, .

Пример 2.9. Найти сумму ряда .

Решение. Рассмотрим степенной ряд

.

Ряд сходится равномерно для . Возьмем . Тогда

.

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.49. .	2.50. .
2.51. .	2.52. .
2.53. .	2.54. .
2.55. .	2.56. .
2.57. .	2.58. .
2.59. .	2.60. .
2.61. .	2.62. .

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.63. .	2.64. .
2.65. .
2.66. .
2.67. .	2.68. .

Перемножив соответствующие ряды, разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.69. .

2.70. .

С помощью дифференцирования ряда доказать, что:

2.71. .
2.72. .

Применив почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда:

2.73. .

2.74. .

Применив почленное интегрирование, вычислить сумму ряда:

2.75. .

2.76. .

Вычислить сумму ряда:

2.77. .	2.78. .
2.79. .	2.80. .

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд с точностью до 0,001 вычислить интеграл:

2.81. .	2.82. .
2.83. .	2.84. .

Найти разложение в ряд Маклорена решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

2.85. .
2.86. .
2.87. .
2.88. .

Ответы: 2.49. , . 2.50. , . 2.51. , . 2.52. , .

2.53. , . 2.54. , .

2.55. , . 2.56. , .

2.57. , . 2.58. , . 2.59. , . 2.60. , . 2.61. , . 2.62. , . 2.63. , .

2.64. , . 2.65. , . 2.66. , . 2.67. , . 2.68. , . 2.69. , . 2.70. , . 2.73. , .

2.74. , . 2.75. . 2.76. , .

2.77. , . 2.78. , . 2.79. , . 2.80. , . 2.81. . 2.82. . 2.83. . 2.84. . 2.85. . 2.86. . 2.87. .

2.88. .

Дата добавления: 2015-07-17