Тригонометрические ряды Фурье

Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную в интервале , причем все точки разрыва регулярны (т. е. ), то функция на этом интервале может быть представлена рядом Фурье

,

где ; .

В частности:

а) если функция четная, то имеем

,

где ;

б) если функция нечетная, то получаем

,

где .

Функцию , определенную в интервале и обладающую в нем приведенными выше свойствами четности, можно в этом интервале разложить в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.

Дифференцирование рядов Фурье. Если функция непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна на отрезке и , то ряд Фурье для получается из ряда Фурье для почленным дифференцированием.

Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье, даже расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале функции можно интегрировать почленно в этом интервале.

Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от и , удается иногда получить с помощью формул Эйлера:

; ; .

Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения для косинуса и синуса и получившуюся функцию от разложить в ряд по степеням , а затем вернуться к переменной с помощью формулы

.

В результате получится искомое разложение заданной функции в ряд Фурье.

Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера. Подставим выражения для синуса и косинуса в функцию и представим получившуюся рациональную функцию параметра в виде суммы двух дробей следующим образом:

.

Поскольку , , то дроби и можно разложить в степенные ряды. (Эти дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий.) В результате получим ряд Фурье функции в комплексной форме:

.

Заметив, что , получим .

Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию .

Решение. Применим для разложения метод, основанный на применении формул Эйлера. Положив , (следовательно, ), будем иметь

.

Заметив, что , и , получим, разложив в степенной ряд логарифм ,

.

В результате будем иметь

.

Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное число, мнимая часть его правой части равна нулю:

.

Следовательно,

, .

Попутно получилось разложение в ряд Фурье функции :

.

Пример 3.3. Найти сумму ряда .

Решение. Ряд сходится при . Рассмотрим ряд , сходящийся при любом . Обозначим и . Тогда

, .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:

.

Таким образом,

.

Откуда сразу находится сумма ряда:

, .

Заодно мы доказали, что

, .

Разложить в ряд Фурье функцию , указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции , и найти сумму ряда в указанной точке :

3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .

3.5. Разложить в ряд Фурье функцию , и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница .

Разложить в ряд Фурье функцию на указанном промежутке, считая длину промежутка периодом:

3.6. на интервале .
3.7. на интервале .
3.8. на интервале .
3.9. на отрезке .

3.10. , на отрезке . Доказать с помощью получившегося разложения, что .

3.11. Разложить в ряд Фурье функцию

периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. Нарисовать график суммы ряда.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:

3.12. .	3.13. .
3.14. .	3.15. .
3.16. .

3.17. Разложить в ряд Фурье на интервале по синусам функцию:

3.18. Разложить функцию в ряд Фурье:

а) на отрезке по косинусам;

б) на интервале по синусам;

в) на интервале по синусам и косинусам.

Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:

, , .

3.19. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Пользуясь формулами Эйлера, разложить в ряд Фурье функцию:

3.20. .
3.21. .
3.22. .

3.23. Исходя из разложения

,

почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье на интервале функций и .

Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические функции:

3.24. .	3.25. .
3.26. .

Найти сумму ряда:

3.27. .	3.28. .
3.29. .	3.30. .

Ответы: 3.1. ; 0. 3.2. , ; . 3.3. , ; . 3.4. , ; . 3.5. ; . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. .

3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. , .

3.21. . 3.22. . 3.23. ; . 3.24. , , . 3.25. . 3.26. ,

, . 3.27. . 3.28. .

3.29. . 3.30. .

Дата добавления: 2015-07-17