Разложение периодических функций в ряд Фурье

Пусть ─ произвольная периодическая функция с периодом . Предположим, что разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является его суммой:

4. (7.2)

Так как сумма есть ─ периодическая функция, то и .

Если равенство (7.2) выполняется во всех точках непрерывности функции , то ряд, стоящий в правой части этого равенства, называется рядом Фурье

функции , а сама функция называется разложимой в ряд Фурье.

Любая ли ─ периодическая функция разлагается в ряд Фурье? Какая связь между коэффициентами и функцией ? Ответы на эти вопросы дают следующие две теоремы.

Теорема 7.1 (Дирихле). Если - периодическая функция является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке , то:

1) функция разложима в ряд Фурье;

2) в каждой точке разрыва функции сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа, т.е.:

;

3) ряд Фурье можно почленно интегрировать.

Доказательство не приводим.

Теорема 7.2 (о коэффициентах ряда Фурье). Если функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то коэффициенты её ряда Фурье вычисляются по формулам:

(7.3)

Доказательство. Запишем разложение функции в ряд Фурье (7.2):

.

Для нахождения проинтегрируем это равенство в пределах от до :

. (7.4)

Учитывая, что , получим

.

Аналогично, . Тогда из равенства (7.4)

или .

Далее умножим обе части равенства (7.2) на и также проинтегрируем в пределах от до :

Здесь мы учли, что при любых

, .

Из равенства (7.5) следует

Аналогично, умножая равенство (7.2) на и интегрируя его в пределах от до , найдём

Теорема доказана.

Коэффициенты , определяемые по формулам (7.3), называются коэффициентами Фурье.

Замечание. Иногда удобно вычислять интегралы в формулах (7.3) не по отрезку , а по другому промежутку длиной (в силу свойства периодических функций).

Пример 7.1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на отрезке формулой Построить график суммы ряда.

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (см. рис.2). Ряд Фурье (7.2) для заданной функции при , будет иметь вид:

.

По формулам (7.3) находим коэффициенты ряда:

Запишем искомый ряд Фурье для функции :

Сумма ряда Фурье совпадает с функцией в точках непрерывности.

Значение суммы ряда в точках разрыва равно

График показан на рис.3.

Пример 7.2. Разложить в ряд Фурье функцию , (рис.4).

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (рис.4).

Ряд Фурье для данной функции при будет иметь вид:

.

Найдем коэффициенты ряда по формулам (7.3), вычисляя интегралы по промежутку :

.

Таким образом, искомый ряд для функции имеет вид:

.

Сумма ряда Фурье совпадает с функцией в точках непрерывности. Сумма ряда в точках разрыва равна

.

График суммы ряда Фурье показан на рис.5.

  Рис.5

7.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

Известно, что , если ─ нечётная функция;

, если ─ чётная функция.

Пусть в ряд Фурье на отрезке раскладывается нечётная функция

. Тогда коэффициенты ряда Фурье вычисляются следующим образом:

Таким образом, ряд Фурье для нечётной функции будет иметь вид:

где (7.5)

Если в ряд Фурье на отрезке раскладывается чётная функция , то ─ чётная функция, а ─ нечётная функция. Тогда коэффициенты ряда Фурье вычисляются следующим образом:

Следовательно, ряд Фурье для чётной функции будет иметь вид

где (7.6)

Ряды (7.5) и (7.6) называются неполными тригонометрическими рядами или рядами по синусам и косинусам соответственно.

Пример 7.3. Разложить в ряд Фурье функцию , с периодом .

Решение. Функция ─ чётная и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (рис.6). Ряд Фурье для чётной функции при имеет вид (7.6):

.

Найдем коэффициенты разложения по формулам (7.6):

Поэтому .

Так как непрерывная функция при , то

Дата добавления: 2015-07-17