Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке

Пусть на некотором отрезке задана кусочно-монотонная функция . Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого нужно построить периодическую функцию с периодом , совпадающую с функцией на (рис.7).

Ряд Фурье функции имеет сумму, совпадающую с функцией на (кроме точек разрыва). Следовательно, функция разложена в ряд Фурье на отрезке .

Если функция задана на отрезке , то:

а) функцию можно продолжить периодически с периодом ; тогда ряд Фурье для будет иметь вид (7.2);

б) функцию можно продолжить чётным образом на отрезок (рис.8). Тогда ряд Фурье для будет содержать только косинусы и иметь вид (7.7);

в) функцию можно продолжить нечётным образом на отрезок (рис.9). Тогда ряд Фурье для будет содержать только синусы и иметь вид (7.5).

Таким образом, для функции , определенной на отрезке , можно получить различные разложения в ряд Фурье. Но все эти ряды имеют сумму,

равную на отрезке (кроме точек разрыва).

Пример 7.4. Разложить функцию , в ряд Фурье по синусам.

Решение. Продолжим функцию нечётным образом на отрезок (рис.10);

получим функцию периода , удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле. Для нечетной функции ряд Фурье при имеет вид (7.5):

.

Вычислим по формуле (7.5):

Отсюда, на отрезке справедливо равенство

.

Сумма полученного ряда совпадает с функцией при всех значениях .

Дата добавления: 2015-07-17