Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке

Читайте также:
  1. V2: Цели, задачи, основные функции, принципы, модели социального государства
  2. Аграрные отношения. Разложение ленной системы
  3. В 1. Понятие функции, структура и средства общения.
  4. Выделение участка заданной площади
  5. Гармонический анализ периодических процессов. Теорема Фурье. Гармонический спектр сигнала.
  6. Задание № 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
  7. Задание №2. Доказать, что векторы образуют базис и написать разложение вектора по векторам этого базиса.

Пусть на некотором отрезке задана кусочно-монотонная функция . Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого нужно построить периодическую функцию с периодом , совпадающую с функцией на (рис.7).

Ряд Фурье функции имеет сумму, совпадающую с функцией на (кроме точек разрыва). Следовательно, функция разложена в ряд Фурье на отрезке .

Если функция задана на отрезке , то:

а) функцию можно продолжить периодически с периодом ; тогда ряд Фурье для будет иметь вид (7.2);

б) функцию можно продолжить чётным образом на отрезок (рис.8). Тогда ряд Фурье для будет содержать только косинусы и иметь вид (7.7);

в) функцию можно продолжить нечётным образом на отрезок (рис.9). Тогда ряд Фурье для будет содержать только синусы и иметь вид (7.5).

       
   

 


Таким образом, для функции , определенной на отрезке , можно получить различные разложения в ряд Фурье. Но все эти ряды имеют сумму,

равную на отрезке (кроме точек разрыва).

Пример 7.4. Разложить функцию , в ряд Фурье по синусам.

Решение. Продолжим функцию нечётным образом на отрезок (рис.10);

получим функцию периода , удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле. Для нечетной функции ряд Фурье при имеет вид (7.5):

.

Вычислим по формуле (7.5):

Отсюда, на отрезке справедливо равенство

.

Сумма полученного ряда совпадает с функцией при всех значениях .


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 162 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Глава 2. Ряды | Необходимый признак сходимости | Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов | Знакочередующиеся и знакопеременные ряды | Функциональные ряды | Сходимость степенных рядов | Разложение функций в степенные ряды | Применение рядов в приближенных вычислениях | Интегрирование дифференциальных уравнений | Периодические функции |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Разложение периодических функций в ряд Фурье| Любимо Павлівка

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)