Гармонический анализ периодических процессов. Теорема Фурье. Гармонический спектр сигнала.

Биопотенциалы e(t), генерируемые живым организмом, представляют собой сложное по форме периодическое колебание с частотой , где Т – период колебания. Такой периодический потенциал согласно теореме Фурье может быть представлен в виде суммы гармонически изменяющихся потенциалов, частоты которых кратны основной частоте v₀ илиосновнойциклической частоте ω₀=2π v₀ повторения биопотенциала:

e(t) = а₀ + а₁ cos(ω₀t + j₁) + а₂ cos(2ω₀t + j₂) + …+ а_n cos(nω₀t + j_n)

или в краткой записи:

e(t) = а₀ + а_m cos(mω₀t + j_m,), (2)

где а₀ – постоянная составляющая сигнала (во многих случаях она равна нулю), а_m cos(mω₀t + j_m) – его гармонические поставляющие, имеющие амплитуду а_т, циклическуючастоту (mω₀)и начальную фазу j_m. Первая из этих составляющих (при m = 1) описывает колебание, происходящее с основной частотой v ₀, и называется основным тоном сигнала, а остальные составляющие (при m = 2, 3, 4...) называются обертонами, или соответственно 2-ой, 3-ей, 4-ой и т.д. гармониками сигнала. Число n таких гармонических составляющих определяется видом (сложностью) функции e(t) и может достигать нескольких сотен.

Область частот, занимаемая основным тоном и обертонами сигнала (то есть область от v ₀ до v _n = nv ₀) называется частотным спектром сигнала, который в совокупности с соответствующими амплитудами а₀, а₁, а₂, …, а_n определяет гармонический спектр рассматриваемого сигнала (рис.1). При прохождении сложного сигнала (2) через усилитель каждая из его гармонических составляющих увеличивается по амплитуде в определенное число раз К_m, равное коэффициенту усиления на частоте этой гармоники и, в общем случае, различное для разных гармоник.

В процессе усиления могут изменяться и начальные фазы гармоник j_m. На выходе усилителя происходит суммирование этих усиленных гармонических колебаний, в результате чего выходной сигнал будет представлять собой некую периодическую функцию Е(t):

Е(t) = К₀а₀+ К_mа_m cos (mω₀+ Ф_m), (3)

Функция Е(t) может существенно отличаться по форме от входного сигнала e(t).

Из сопоставления выражений (2) и (3) видно, что форма периодического сигнала E(t) на выходе усилителя будет соответствовать форме сигнала e(t) на его входе только в том случае, если коэффициенты усиления разных гармоник К _m будут одинаковы на всех частотах, имеющихся в спектре сигнала, то есть если К₀ = К₁ = K₂ = … = K_n =const = K, и кроме того, еcли начальные фазы гармоник при усилении не изменятcя: Ф_m = j_{m .}. Действительно, только при выполнении этих условий коэффициенты K_m можно вынести из под знака суммы в выражении (3), и на выходе усилителя получим усиленный в К раз входной сигнал:

Е(t) = K a₀ + a_m cos (2pmv₀+ j_m) = К·e (t). (4)

Таким образом, только в тех случаях, когда коэффициент усиления не зависит ни от частоты, ни от амплитуды сигнала, а начальные фазы гармоник не изменяются в процессе усиления, на выходе усилителя получается переменный сигнал, повторяющий по форме сигнал на его входе, но усиленный в К раз. Только при этих условиях возможно усиление сигнала без искажения его формы. Усилитель, всегда удовлетворяющий этим условиям, называют идеальным усилителем.

Однако у реального усилителя коэффициент усиления всегда зависит и от частоты, и от амплитуды входного сигнала, то есть К = K(n, a_m), чтоприводит, соответственно, к частотным и амплитудным искажениям усиливаемого сигнала.

Изменение фазы усиливаемых гармонических составляющих сигнала приводит к фазовым искажениям сигнала.

Реальный усилитель может существенно искажать форму усиливаемых сигналов, что не допустимо в медицине, т.к. именно форма этих сигналов (например, в случае ЭКГ) часто имеет определяющее диагностическое значение.

Поэтому важно выяснить, при каких условиях реальный усилитель не будет искажать усиливаемый сигнал. Для этого необходимо знать, как именно зависит коэффициент усиления реального усилителя от частоты и амплитуды входного сигнала.

Дата добавления: 2015-07-15