Ряды с неотрицательными членами

Если все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то такой ряд называется знакопостоянным. Для определенности будем считать, что все . Тогда частичные суммы ряда образуют монотонно возрастающую последовательность.

Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Для сходимости ряда , где , необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Признак сравнения I. Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак сравнения II. Пусть и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно. (То есть невозможно, чтобы один из них сходился, а другой расходился).

В качестве «эталонных» рядов обычно используют:

1) геометрический ряд , который сходится при и расходится при ;

2) обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при .

Метод выделения главной части. Если для ряда с неотрицательными членами удается получить асимптотическую формулу вида , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Коши. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, если – ряд расходится, если – признак неприменим.

Признак Даламбера. Если существует , то при ряд сходится, при – расходится, а при признак неприменим.

Признак Раабе. Если и существует , то при ряд сходится, а при – расходится.

Признак Гаусса. Пусть и , где .

Тогда:

если – ряд сходится; если – ряд расходится; если и – ряд сходится; если и – ряд расходится.

Интегральный признак Коши-Маклорена. Пусть – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пример 1.4. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а) Используем признак Коши:

.

Ряд расходится.

б) Используя асимптотическую формулу Стирлинга при получим

.

Следовательно, ряд расходится.

в)Ряд сходится, т. к. при , , и ряд сходится.

г)Имеем

;

поэтому ряд расходится.

Пример 1.5. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а) . Воспользуемся признаком Раабе . Ряд расходится.

б) В применении к ряду признак Гаусса дает ; — ряд расходится.

в)Для ряда имеем ; , – ряд сходится.

г)Введем функцию и рассмотрим несобственный интеграл . Из последнего равенства видно, что данный интеграл сходится, если , и расходится, если .

Доказать сходимость ряда , установив ограниченность сверху последовательности его частичных сумм:

1.29. .	1.30. .
1.31. .	1.32. .

Исследовать сходимость ряда , использовав признаки сравнения или получив асимптотическую формулу вида , при .

1.33. .	1.34. .
1.35. .	1.36. .
1.37. .	1.38. .
1.39. .	1.40. .
1.41. .	1.42. .
1.43. .	1.44. .
1.45. .	1.46. .
1.47. .	1.48. .
1.49. .	1.50. .
1.51. .	1.52. .

Найти все значения , при которых сходится ряд :

1.53. .	1.54. .
1.55. .
1.56. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:

1.57. .	1.58. , , .
1.59. .	1.60. .
1.61. .	1.62. .
1.63. .	1.64. .
1.65. .	1.66. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:

1.67. .	1.68. .
1.69. .	1.70. .
1.71. .	1.72. .
1.73. .	1.74. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Раабе или признака Гаусса:

1.75. .	1.76. .
1.77. .	1.78. .
1.79. .
1.80. .

Исследовать на сходимость ряд :

1.81. .	1.82. .
1.83. .	1.84. .
1.85. .	1.86. .
1.87. .	1.88. .
1.89. .	1.90. .

Ответы: 1.33. Сходится. 1.34. Расходится. 1.35. Сходится. 1.36. Сходится. 1.37. Сходится. 1.38. Расходится. 1.39. Сходится. 1.40. Расходится. 1.41. Расходится. 1.42. Сходится. 1.43. Сходится. 1.44. Сходится. 1.45. Сходится. 1.46. Сходится. 1.47. Сходится. 1.48. Расходится. 1.49. Расходится. 1.50. Сходится. 1.51. Сходится. 1.52. Сходится. 1.53. . 1.54. . 1.55. . 1.56. . 1.57. Сходится. 1.58. Сходится при , расходится при . 1.59. Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости данного ряда. 1.60. Расходится. 1.61. Сходится. 1.62. Сходится. 1.63. Сходится. 1.64. Сходится. 1.65. Сходится. 1.66. Сходится. 1.67. Сходится. 1.68. Сходится. 1.69. Расходится. 1.70. Сходится. 1.71. Сходится. 1.72. Сходится. 1.73. Сходится. 1.74. Сходится. 1.75. Сходится при . 1.76. Сходится, если , и расходится, если . 1.77. Сходится, если , и расходится, если . 1.78. Сходится при . 1.79. Сходится. 1.80. Сходится при . 1.81. Сходится. 1.82. Сходится. 1.83. Сходится. 1.84. Сходится при и при , если . 1.85. Сходится. 1.86. Сходится. 1.87. Сходится. 1.88. Расходится. 1.89. Сходится. 1.90. Сходится.

Дата добавления: 2015-07-17