Величина называется суммой ряда, а число называется остатком ряда(тоже ряд).

III. РЯДЫ

Числовые ряды

Основные понятия

Числовой ряд называется сходящимся, или суммируемым,если его частичные суммы

Имеют предел при.

Величина называется суммой ряда, а число называется остатком ряда(тоже ряд).

Если не существует либо он бесконечен, то ряд расходится.

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого остаток сходится.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то . Обратное утверждение неверно.

Достаточный признак расходимости. Если , то ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов. Пусть , и – постоянная величина. Тогда

; .

Если ряд сходится, то сходятся также и другие ряды, полученные из исходного ряда добавлением, удалением или перестановкой конечного числа членов. (Сумма ряда может измениться).

Критерий Коши. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа можно было подобрать такое , чтобы при и любом положительном выполнялось неравенство .

Пример 1.1. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б) .

Решение. а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости:

.

Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

б) Ряд называется гармоническим. Очевидно, , т. е. общий член стремится к нулю. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда

.

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Используя метод неопределенных коэффициентов, представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

.

Таким образом,

.

Так как , данный ряд сходится и его сумма равна .

Пример 1.3. Пусть . Доказать, что ряды

а) ; б)

сходятся и найти их суммы.

Решение. а) Используя формулы для суммы первых членов геометрической прогрессии, получаем , откуда следует, что . Итак,

, .

б) Так как , то

.

Откуда

;

.

Если , то ; поэтому существует , т. е. .

Найти -ю частичную сумму ряда и сумму этого ряда:

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1.4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .
1.9. .	1.10. .
1.11. .	1.12. .

Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:

1.13. .	1.14. .
1.15. .	1.16. .
1.17. .	1.18. .
1.19. .	1.20. .

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда , если:

1.21. .	1.22. .
1.23. .	1.24. .

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда , если:

1.25. .	1.26. .
1.27. .	1.28. .

Ответы: 1.1. , . 1.2. , . 1.3. , . 1.4. , . 1.5. , . 1.6. , .

1.7. , . 1.8. ,

. 1.9. , . 1.10. ,

. 1.11. , . 1.12. ,

.

Дата добавления: 2015-07-17