Застосування рядів Фур’є.

Як і степеневі ряди, ряди Фур’є мають широке коло застосування. Звернемо увагу на одну задачу яка зустрінеться у майбутньому курсі опалення та вентиляції.

Маємо ізольований стрижень займаючий відрізок вісі . Нехай на кінцях стрижня підтримується постійна температура, наприклад для спрощення дослідження, 0⁰С. Знайдемо - температура стрижня в точці у момент часу d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00964F73"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>t</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . При цьому рахуємо, що відома температура в кожній точці у початковий момент часу . Позначимо її .

Розв’язок. Встановлено, що температура задовольняє диференційному рівнянню у часткових похідних (рівняння теплопровідності), - деяка константа.

Окрім цього, згідно умов задачі, (початкова умова), (граничні умови).

Фур’є запропонував шукати нетривіальний розв’язок у вигляді , де та d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="005504D3"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>T</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - поки що невідомі функції. Знайдемо та підставимо в рівняння. Отримаємо:

Ліва частина рівності залежить тільки від d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="002B591C"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>t</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , а права тільки від . Таке можливо лише у випадку коли обидві частини – сталі. Позначимо постійну як – так, що тепер функції d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00905E4C"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>X</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> та d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00517982"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>T</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> задовольняють звичайним диференційним рівнянням:

З граничних умов, також випливає:

Спочатку розв’яжемо задачу: знайти такі числа для яких диференційне рівняння (7) має розв’язок задовольняючий умовам (9). Це задача Штурма-Ліувілля, – властивості числа d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00D2592C"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>X</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - властиві функції. (7) – лінійне однородне диференційне рівняння другого порядку про яке відома уся інформація. З неї бачимо, якщо то нетривіальних рішень наша задача не має. Тобто . Тоді:

та - довільні сталі. З (9) отримуємо . Візьмемо , отже тобто

Кожному відповідає розв’язок:

де - довільні сталі. Тим самим ми знайшли усі властиві числа, та властиві функції задачі Штурма-Ліувілля.

Звернемося до лінійного диференційного рівняння (8). При його загальний розв’язок буде:

де – довільні сталі. Отже, функції

- довільні сталі, , задовольняють як рівнянню теплопровідності так і граничним умовам. Можна довести, що і ряд

Також задовольняє тим же умовам. Залишається підібрати коефіцієнти так, щоб виконувалася початкова умова, а саме так, щоб:

Як відомо з теорії рядів Фур’є для непарних функцій, робиться це однозначно:

В підсумку. Поставлена задача має розв’язок:

Де - обчислені за формулою (10).

Дата добавления: 2015-07-17