Функціональні ряди

Будемо розглядати ряд доданками якого є функція - функціональний ряд.

Точка при якій ряд збігається називається точкою збіжності. Множина всіх точок збіжності називається областю збіжності функціонального ряду. Сума функціонального ряду представляє собою функцію визначену в його області збіжності. Як і раніше пишуть .

Основне питання полягає в знаходженні області збіжності ряду та вивченню властивостей його суми. Що стосується області збіжності, нерідко її можна знайти застосовуючи ознаки Даламбера або Коші. При цьому зауважимо, що області збіжності ряду і ряду модулів однакові. Дійсно точка збіжності ряд модулів є точкою збіжності самого ряду (ознака абсолютної збіжності). А точка розбіжності ряду модулів є точкою розбіжності даного ряду (невиконана необхідна умова збіжності, див. зауваження до ознак Коші та Даламбера).

Приклад: Знайти область збіжності ряду

Розв’язок. Розглянемо ряд модулів і застосуємо до нього ознаку Коші:

Розв’яжемо нерівність:

- область збіжності ряду модулів і, як вказувалось, нашого ряду.

Перейдемо до другої частини основного питання, а саме вивчення властивостей суми ряду. Добре відомі властивості кінцевих сум функції: сума неперервних функцій – є функція неперервна; інтеграл (похідна) суми дорівнює сумі інтегралів (похідних). Виникає питання чи переносяться ці властивості на нескінчені суми функцій?

Приклад:

При маємо . При у нас геометричний ряд із знаменником . Він збігається і його сума (див. приклад по геометричному ряду). Таким чином, як бачимо сума неперервних функцій не є сама неперервною, тобто перелічені властивості в загальному випадку на ряди не поширюються.

Тому, насамперед, виділимо клас функціональних рядів які мають звичні для нас властивості.

Дата добавления: 2015-07-17