Ряди Фур’є

Задачу про розкладення функції степеневий ряд, деяким чином узагальнимо, а саме маємо функція та систему функцій . Треба встановити, чи розкладається функція в ряд по цій системі, тобто, чи має місце рівність

де - числа. Зробити це можливо коли надати системі функцій деякі властивості.

Визначення. Система функцій називається ортогональною на відрізку , якщо

Приклад. Система функцій:

Ортогональна на відрізку . В цьому легко пересвідчитись обчисливши відповідні інтеграли.

До речі відмітимо також:

Зауваження. Окрім системи (1) існують і інші ортогональні системи, наприклад поліноми Лежандра.

Так ось, якщо система функцій ортогональна, та розкладається в ряд по цій системі. То коефіцієнти знайти достатньо просто. Дійсно

Тоді:

Інтегруючи цей ряд, з урахуванням ортогональності, встановимо:

Тепер, маючи функцію , та ортогональну систему функцій можна скласти ряд по цій системі, коефіцієнти якого обчислені за формулами (2). Далі постає питання про збіжність ряду саме до нашої функції. Питання позитивно вирішене для ортогональної системи (1). Розглянемо детальніше. Є функція визначена на відрізку . Розглянемо ряд по системі функцій (1).

Коефіцієнти якого обчислені за формулами (2).

Тригонометричний ряд (3) з коефіцієнтами (4) називається рядом Фур’є для функції на відрізку .

Наведемо без доказу умову яка забезпечує його рівномірну збіжність до .

Теорема Діріхлє. Нехай функція на відрізку має кінцеве число екстремумів та неперервна за виключенням можливо кінцевого числа точок розриву першого ряду. Тоді ряд Фур’є на відрізках неперервності функції збігається рівномірно до неї, а в точках розриву збігається до .

Зауваження. Функції системи (1) періодичні. Їх загальний період . Тому, якщо періодична функція і задовольняє умовам теореми Діріхлє, її можна розкласти в ряд Фур’є з тим же періодом (прості гармоніки).

Приклади. Розкласти в ряд Фур’є функції:

1)

По формулам (4) знайдемо

Маємо:

Цікаво: при отримаємо:

Звідси знайдемо суму

1)

По формулам (4) (виконати самостійно) знайдемо

Тому,

Цікаво: при і знайдемо суми

Склавши будемо мати:

Наостанок зупинимося на одному частковому випадку.

Дата добавления: 2015-07-17