Знакочергуючі ряди

Розглядаємо ряд . Укажемо на просту ознаку збіжності ряду.

Ознака Лейбніца. Нехай для ряду (1) мають місце властивості:

1)

2)

Тоді ряд збігається, причому його сума менше .

а₀

а₂

а₄

S₄ S₂ S₀

0 S₁ S₃ S₅

a₅

a₃

a₁

Доведення. Для наочності зобразимо часткові суми ряду на малюнку (s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>, …</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> )

Ми бачимо, що зростаюча і обмежена послідовність . Отже за теоремою Вейерштраса маємо кінцеву границю . Очевидно . Візьмемо до уваги що . За умов ознаки ясно що і . Таким чином і суми з непарним індексом, і часткові суми з парним індексом мають однакову кінцеву границю, тобто ряд (1) збігається.

Зауваження. Якщо у збіжному ряді (1) відкинути перші n-доданки, отримуємо залишок ряду. Залишок теж збіжний ряд і його сума менше по модулю від . Тим самим маємо оцінку похибки при заміні суми ряду його частковою сумою.

Приклад:

Ряд збігається за ознакою Лейбніца. Пізніше встановимо що його сума. Можемо приблизно підрахувати логарифм:

Похибка менше . Зауважимо, що є більш досконалі формули обчислення логарифмів.

Дата добавления: 2015-07-17