Ряди Тейлора та Маклорена.

Дана нескінченне число раз диференційована функція і точка . При яких умовах можна стверджувати що функція розкладається у степеневий ряд в околі точки тобто має місце рівність

де – деякі коефіцієнти.

Спочатку допустимо що розкладається у зазначений ряд та знайти його коефіцієнти. Підставимо . Отримаємо . Тепер про диференціюємо (1) и знову покладемо . Отримаємо

Далі два рази про диференціюємо (1) і підставимо . Отримаємо і т.д.

В загальному вигляді

Степеневий ряд коефіцієнти якого обчислені по формулам (2), тобто ряд

Називають рядом Тейлора для функції .

У частковому випадку, коли маємо ряд Маклорена

Тепер можна казати, що функція розкладається у степеневий ряд, то це обов’язково ряд Тейлора. Однак не кожна функція розкладається у степеневий ряд. Наприклад:

Ряд Маклорена для неї складається з нулів і значить має своєю сумою 0, а не . Тому потрібні умови які б гарантували збіжність ряду Тейлора саме до нашої функції. Одну з таких достатніх умов ми окреслимо.

Позначимо - часткову суму ряду Тейлора, . Збіжність ряду в точці до означає . Ми якраз і приведемо умову яка забезпечує останнє. Для Лагранжем була встановлена формула:

де деяка точка між та .

Теорема. Якщо всі похідні функції в околі точки обмежені по модулю одним числом , то функція у цьому околі розкладається у ряд Тейлора.

Доведення. З умов теореми випливає . Взявши до уваги, що коли для всіх (стор.), а також попередні роздуми, переконуємося в справедливості теореми.

Зауваження. Теорема вирішує питання про оцінку похибки при заміні частковою сумою ряду Тейлора.

Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена:

………………………………

Маємо ряд Маклорена

Чи збігається він до ? Так, тому що всі похідні функції в довільному проміжку обмежені одним числом і працює попередня теорема. Висновок:

.

…………………….

Маємо ряд Маклорена.

Як бачимо всі похідні нашої функцію по модулю обмежені для всіх одиницею, тому на основі тієї ж теореми записуєть:

. Для цієї функції поступимо гнучкіше, а саме, користуючись властивістю степеневого ряду, про диференціюємо попередню рівність. Отримаємо:

Зауваження. Тепер можна легко довести відому формулу Ейлера

. І тут поступимо гнучко. Користуючись відомостями про геометричний ряд запишемо:

Інтегруючи рівність в границях від 0 до , отримаємо:

Більш точним дослідженням встановлено що рівність має місце на проміжку r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

До речі звідси випливає (див. стор.)

. Аналогічно попередньому маємо:

Інтегруючи від 0 до отрисаємо:

Встановлено, що рівність має місце і на кінцях проміжку.

Зауваження. Цікаво. При маємо формулу для обчислення числа з будь-якою точністю

6. Біноміальний ряд.

Обчислюємо

…………………………

…………………………

Маємо ряд Маклорена.

Легко встановити його радіус збіжності, . Встановлено також, що в інтервалі ряд збігається саме до нашої функції .

Зауваження. Наведемо кілька часткових, але поширених випадків:

Степеневі ряди мають широке коло застосування. Деякі приклади:

1.Табулювання функцій. Для конкретики обчислимо з точністю . Формулу п.2 при задіяти ми не можемо. Тому спочатку виведемо формулу за якою можна обчислити логарифм довільного числа. Так

Звідси наша формула.

2. Інтегрування диференціальних рівнянь. Є декілька прийомів. Один з яких розберемо на конкретній задачі Коші.

Рахуємо що розв’язок задачі розкладається у ряд Маклорена.

Знайдемо: – за умовою.

І так далі.

Тепер маємо об’єкт для подальшої роботи:

Дата добавления: 2015-07-17