Ряды Маклорена и Тейлора

Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

(5.1)

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

…………………………………………………………….

Полагая в полученных равенствах , получим , , , , …, , откуда

, , , ,…, ,…

Подставляя значения коэффициентов в (5.1), получим ряд:

(5.2)

называемый рядом Маклорена.

Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции .

Если представить ряд Маклорена в виде , где – - я частичная сумма ряда, – - й остаток ряда, то можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

, где – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в форме Лагранжа:

, .

Дата добавления: 2015-07-18